Question

Докажи что значение уравнения: а) 5 в 8 степени + 5 в 7 степени + 5 в 6 степени кратное 31 б) 27 в 5 степени - 9 в 6 степени кратное 26 докажи что значение дроби ето целое число

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для доказательства того, что значение уравнения является целым числом, мы можем использовать основное свойство модульной арифметики.

Часть 1: Уравнение a^8 + a^7 + a^6 кратно 31

Для начала, заметим, что a^8 + a^7 + a^6 можно представить в виде a^6 * (a^2 + a + 1). Теперь мы можем приступить к доказательству.

1. Для любого целого числа a, возведение в степень по модулю 31 будет давать тот же остаток, что и возведение в степень без модуля. 2. Разделим наше уравнение на две части: a^6 и (a^2 + a + 1). 3. Рассмотрим a^6 по модулю 31: - Для a = 0, a^6 = 0 (mod 31). - Для a = 1, a^6 = 1 (mod 31). - Для a = 2, a^6 = 64 = 2 (mod 31). - Продолжая этот процесс для всех возможных значений a, мы увидим, что a^6 принимает значения 0, 1 или 2 по модулю 31. 4. Теперь рассмотрим (a^2 + a + 1) по модулю 31: - Для a = 0, (a^2 + a + 1) = 1 (mod 31). - Для a = 1, (a^2 + a + 1) = 3 (mod 31). - Для a = 2, (a^2 + a + 1) = 7 (mod 31). - Продолжая этот процесс для всех возможных значений a, мы увидим, что (a^2 + a + 1) принимает значения 1, 3 или 7 по модулю 31. 5. Теперь объединим результаты: - a^6 может принимать значения 0, 1 или 2 по модулю 31. - (a^2 + a + 1) может принимать значения 1, 3 или 7 по модулю 31. 6. Перемножим эти значения и рассмотрим все возможные комбинации: - 0 * 1 = 0 (mod 31) - 0 * 3 = 0 (mod 31) - 0 * 7 = 0 (mod 31) - 1 * 1 = 1 (mod 31) - 1 * 3 = 3 (mod 31) - 1 * 7 = 7 (mod 31) - 2 * 1 = 2 (mod 31) - 2 * 3 = 6 (mod 31) - 2 * 7 = 14 (mod 31) 7. Мы видим, что все возможные комбинации дают остаток 0, 1, 2, 3, 6, 7 или 14 по модулю 31. 8. Таким образом, a^8 + a^7 + a^6 будет кратно 31 для всех целых значений a.

Часть 2: Уравнение 27^5 - 9^6 кратно 26

1. Рассмотрим значение 27^5 по модулю 26: - 27^5 = (26 + 1)^5 = 1^5 = 1 (mod 26). 2. Рассмотрим значение 9^6 по модулю 26: - 9^6 = (26 - 17)^6 = (-17)^6 = 289^3 = (26 * 11 + 3)^3 = 3^3 = 27 = 1 (mod 26). 3. Теперь рассмотрим разность 27^5 - 9^6 по модулю 26: - 27^5 - 9^6 = 1 - 1 = 0 (mod 26). 4. Мы видим, что разность 27^5 - 9^6 будет кратна 26.

Таким образом, значения уравнений a^8 + a^7 + a^6 и 27^5 - 9^6 являются целыми числами.