Question

Доведіть,що при цілих значеннях n значення виразу (n+3)2(2 в другій степені)+2n2(2 в другій степені)ділится націло на 3

Answer 1

Ответ:

(n+3)2²+2n2² = 2²(n+3+2n) = 2²×3×(n+1)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение \( (n+3)^2(2^2+2^n) + 2n^2(2^2+2^n) \) делится нацело на 3, нужно показать, что оно кратно 3, то есть есть такое целое число \( k \), что \( (n+3)^2(2^2+2^n) + 2n^2(2^2+2^n) = 3k \).

Разложим каждое слагаемое на множители: \( (n+3)^2 = n^2 + 6n + 9 \) \( 2^2 + 2^n = 4 + 2^n \) \( 2n^2 = 2n \cdot 2n = 4n^2 \)

Подставим эти значения в исходное выражение: \( (n+3)^2(2^2+2^n) + 2n^2(2^2+2^n) = (n^2 + 6n + 9)(4 + 2^n) + 4n^2(4 + 2^n) \)

Применим распределительное свойство умножения: \( (n^2 + 6n + 9)(4 + 2^n) + 4n^2(4 + 2^n) = 4n^2 + 2^n(n^2 + 6n + 9) + 16n^2 + 8n^2 + 2^n(6n + 9) \)

Сгруппируем слагаемые: \( 4n^2 + 2^n(n^2 + 6n + 9) + 16n^2 + 8n^2 + 2^n(6n + 9) = (4n^2 + 16n^2 + 8n^2) + 2^n(n^2 + 6n + 9 + 6n + 9) \)

Сократим слагаемые в скобках: \( (4n^2 + 16n^2 + 8n^2) + 2^n(n^2 + 6n + 9 + 6n + 9) = 28n^2 + 2^n(13n + 18) \)

Теперь докажем, что это выражение делится на 3. Воспользуемся следующим фактом:

Если целое число делится на 3, то и каждая его цифра делится нацело на 3.

Пусть \( 13n + 18 = 3k \) для некоторого целого числа \( k \). Тогда \( 13n = 3k - 18 \), и по факту выше получаем, что каждая цифра числа \( 13n \) делится нацело на 3.

Так как \( 2^n \) - степень числа 2, то каждая его цифра также делится нацело на 3.

Итак, \( 28n^2 + 2^n(13n + 18) \) делится нацело на 3.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение делится нацело на 3 при целых значениях \( n \).