Question

Выбери верные утверждения для функции у-2х^2+20x+5 Верных ответов: 6Нули функции x1,2 =10+-корень110/2Промежуток убывания x ∈ [5; +∞).Наибольшее значение функции – y = 55.Промежуток возрастания x ∈ (–∞; 55].Ветви параболы направлены вниз.Вершина параболы – точка (5; 55).Множество значений функции: (–∞; +∞).График функции проходит через точку (3; 37).Область определения функции: (5; +∞).Прямая x = 5 является осью симметрии графика функции.

Answer 1

Ответ:

Нули функции

$x_{1} = \frac{-20 + \sqrt{440} }{-4} = \frac{2(10 - \sqrt{110} )}{2 * 2} = \frac{10 - \sqrt{110} }{2}$

$x_{2} = \frac{-20 - \sqrt{440} }{-4} = \frac{2(10 + \sqrt{110} )}{2 * 2} = \frac{10 + \sqrt{110} }{2}$.

Промежуток убывания x ∈ [5; +∞).

Наибольшее значение функции – y = 55.

Вершина параболы – точка (5; 55).

Прямая x = 5 является осью симметрии графика функции.

Ветви параболы направлены вниз.

Объяснение:

Проведем исследование функции $y = -2x^{2} + 20x + 5$

1. Область определения функции

D(y) = R (так как в функцию можно подставить любые значения x)

2. Исследовать функцию на парность

$y(x) = -2x^{2} + 20x + 5$

$y(-x) = -2((-x)^{2} ) - 20x + 5= -2x^{2} - 20x + 5$

Ни четная, ни нечетная

3. Найти нули функции

$y = 0$

$-2x^{2} + 20x + 5 = 0$

$D = 400 - 4 * (-2) * 5 = 400 + 40 = 440$

$x_{1} = \frac{-20 + \sqrt{440} }{-4} = \frac{2(10 - \sqrt{110} )}{2 * 2} = \frac{10 - \sqrt{110} }{2}$

$x_{2} = \frac{-20 - \sqrt{440} }{-4} = \frac{2(10 + \sqrt{110} )}{2 * 2} = \frac{10 + \sqrt{110} }{2}$

4. Промежутки знакопостоянства функции

$-2x^{2} + 20x + 5 = -2(x - \frac{10 - \sqrt{110} }{2} )(x - \frac{10 + \sqrt{110} }{2} )$

$y > 0$ при $x \in (\frac{10 - \sqrt{110} }{2} ;\frac{10 + \sqrt{110} }{2} )$

$y < 0$ при $x \in (-\infty;\frac{10 - \sqrt{110} }{2})\cup(\frac{10 + \sqrt{110} }{2}; +\infty )$

5. Исследовать функцию на непрерывность

Так как D(y) ∈ R, то у функции нет разрывов следовательно функция y непрерывна на D(y) ∈ R.

6. Найти асимптоты

Так как функция y непрерывна, то функция не имеет асимптот

7. Найти промежутки возрастания и убывания функции

$y' = (-2x^{2} + 20x + 5)' = -4x + 20$

$y' = 0$

$-4x + 20 = 0\\20 = 4x|: 4\\x = 5$

При $x \geq 5$ функция убывает

При $x \leq 5$ функция возрастает

8.

$y' = 0$ при $x = 5$ и так как:

При $x \geq 5$ функция убывает

При $x \leq 5$ функция возрастает

То точка x = 5 является экстремумом и локальным максимумом функции

max: y(5) = -2 * 5² + 20 * 5 + 5 = -50 + 100 + 5 = 55

9. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба

$y'' = (-2x^{2} + 20x + 5)'' = (-4x + 20)' = -4$

Так как $y'' = -4$, то функция выпукла вверх при x ∈ R.

Функция не имеет точек перегиба.

10. Найти область значений функции:

$y = -2x^{2} + 20x + 5$

$-2x^{2} + 20x + 5 - y = 0$

$D = 400 - 4 * (-2) * (5 - y) = 400 + 8(5 - y) = 400 + 40 - 8y = 440 - 8y$

$D \geq 0$

$440 - 8y \geq 0\\440 \geq 8y|:8\\55 \geq y$

$E(y) = [55;-\infty)$

11. Особые свойства функции

Вершиной параболы является точка в которой производная квадратичной функции равна нулю.

Вершина параболы $(5;y(5) ) = (5;55)$

Проходит парабола через точку (3;37)

y(3) = -2 * 3² + 20 * 3 + 5 = -18 + 60 + 5 = 47

$37 \neq 47$ следовательно график функции y не проходит через точку (3;37).

Ось симметрии параболы параллельна оси ординат и проходит через вершину параболы, следовательно уравнение оси симметрии параболы x = 5.  

Так как a < 0 (-2 < 0), то ветви параболы направлены вниз.

Answer 2

Давай разберем каждое утверждение по порядку и проверим, какие из них верны для функции \( y = -2x^2 + 20x + 5 \):

1. Нули функции \( x_{1,2} = 10 \pm \sqrt{110}/2 \)

Для нахождения корней квадратного уравнения \( -2x^2 + 20x + 5 = 0 \), можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где в нашем случае \( a = -2 \), \( b = 20 \), и \( c = 5 \). Подставляя значения, получаем:

\[ D = 20^2 - 4*(-2)*5 = 400 + 40 = 440 \]

Таким образом, дискриминант \( D = 440 \), что больше нуля. Следовательно, у нас есть два различных вещественных корня. Используя общую формулу:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{440}}{2*(-2)} = \frac{-20 \pm 2\sqrt{110}}{-4} = 10 \pm \frac{\sqrt{110}}{2} \]

Следовательно, утверждение верно.

2. Промежуток убывания \( x \in [5; +\infty) \)

Для определения промежутков возрастания и убывания нужно проанализировать коэффициент при старшем члене. В данном случае, у нас \( -2x^2 \). Так как коэффициент отрицательный, это означает, что парабола направлена вниз и функция убывает на всей области определения. Следовательно, утверждение неверно.

3. Наибольшее значение функции \( y = 55 \)

Чтобы найти наибольшее значение функции, необходимо найти координаты вершины параболы. Формула координат вершины имеет вид \( x = -\frac{b}{2a} \). В данном случае:

\[ x = -\frac{20}{2*(-2)} = 5 \]

Подставляя \( x = 5 \) в исходную функцию, получаем:

\[ y = -2*5^2 + 20*5 + 5 = -50 + 100 + 5 = 55 \]

Следовательно, утверждение верно.

4. Промежуток возрастания \( x \in (-\infty; 55] \)

Как уже упоминалось ранее, у нас функция убывает на всей области определения. Следовательно, утверждение неверно.

5. Ветви параболы направлены вниз

Да, утверждение верно, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный.

6. Вершина параболы - точка (5; 55)

Как уже показано ранее, координаты вершины параболы равны (5; 55), поэтому утверждение верно.

7. Множество значений функции: \((-\infty; +\infty)\)

Так как у нас парабола направлена вниз, ее значение будет уменьшаться при увеличении аргумента в обе стороны, следовательно, множество значений функции в данном случае действительно \((-\infty; +\infty)\).

8. График функции проходит через точку (3; 37)

Подставим \(x = 3\) в исходную функцию:

\[ y = -2*3^2 + 20*3 + 5 = -18 + 60 + 5 = 47 \]

Таким образом, утверждение неверно.

9. Область определения функции: \((5; +\infty)\)

Поскольку коэффициент при \(x^2\) отрицательный, функция определена для всех действительных значений \(x\). Следовательно, область определения функции действительно \((5; +\infty)\).

10. Прямая \(x = 5\) является осью симметрии графика функции.

Для параболы осью симметрии является вертикальная линия, проходящая через вершину. В данном случае, вершина имеет координаты (5; 55), поэтому утверждение верно.

Итак, верные утверждения для данной функции:

1. Нули функции \(x_{1,2} = 10 \pm \sqrt{110}/2\) 2. Наибольшее значение функции \(y = 55\) 3. Ветви параболы направлены вниз. 4. Вершина параболы - точка (5; 55). 5. Множество значений функции: \((-\infty; +\infty)\) 6. Область определения функции: \((5; +\infty)\) 7. Прямая \(x = 5\) является осью симметрии графика функции.