Question

Ваня играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 10 000 очков. После первой минуты игры добавляет-ся 2 очка, после второй 4 очка, после третьей - восемь очков и так далее. Таким обра-зом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается.Через сколько минут Ваня перейдёт на следующий уровень?​

Answer 1

Ответ:

Через 13 минут

Объяснение:

По условию добавляется очка (очков) после

1-минуты → 2

2-минуты → 4=2·2=2²

3-минуты → 8=4·2=2³

...

n-минуты → 2ⁿ.

Нам нужно найти при каком наименьшем значении n выполняется неравенство:

2+2²+2³+...+2ⁿ ≥ 10000.

Очевидно, левая часть неравенства получается как сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом b₁ = 2 и знаменателем q = 2.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле

$\tt S_n=\dfrac{b_1 \cdot (q^n-1)}{q-1}.$

В силу этого неравенство примет вид:

$\tt \dfrac{2 \cdot (2^n-1)}{2-1} \geq 10000.$

Решаем неравенство:

$\tt \dfrac{2 \cdot (2^n-1)}{1} \geq 10000\\\\2 \cdot (2^n-1) \geq 10000\\\\2^n-1 \geq 5000\\\\2^n \geq 5001.$

Так как

$\tt 2^{12}=4096, \; 2^{13} = 8192,$

то ответом будет n = 13.

Answer 2

Для того чтобы узнать, через сколько минут Ваня перейдет на следующий уровень, давайте рассмотрим, сколько очков он наберет после каждой минуты игры:

- Первая минута: 0 + 2 = 2 очка - Вторая минута: 2 + 4 = 6 очков - Третья минута: 6 + 8 = 14 очков

Таким образом, после третьей минуты игры Ваня наберет 14 очков. Это более 10 000 очков, которые ему нужно для перехода на следующий уровень. Ваня перейдет на следующий уровень после третьей минуты игры.