Question

Миша играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 10 000 очков. После первых двух минут игры добавляется 2 очка, после следующих двух — 4 очка, после следующих двух — восемь очкови так далее. Таким образом, после каждых двух минут игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Миша перейдёт на следующий уровень? Подобное решение. ​

Answer 1

Ответ:

n = 13 минут

Объяснение:

Каждые две минуты очки удваиваются, то есть тогда зададим геометрическую прогрессию со знаменателем 2, а первый член прогрессии равен 2.То есть $b_{1} = 2$, $q = 2$.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии задается формулой

$S_{n} = \frac{b_{1}(q^{n}-1 ) }{q - 1} ;$

Где $S_{n}$ сумма первых n членов геометрической прогрессии и n є N.

$10 000 = \frac{2(2^{n}-1 )}{2-1} =2(2^{n}-1 )$

$5000 = 2^{n} - 1$

$5001 = 2^{n}$

$n =[ log_2\funcapply\begin1\ 5001] =$ 13

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрическую прогрессию. Количество добавляемых очков удваивается после каждых двух минут игры, начиная с 2 очков.

Итак, первые две минуты Миша получает 2 очка. Следующие две минуты он получает 4 очка. Потом 8 очков. Затем 16 очков. И так далее.

Это образует геометрическую прогрессию, где первый член (a) равен 2, а множитель (r) равен 2 (так как количество очков удваивается).

Чтобы найти, через сколько минут Миша перейдет на следующий уровень (наберет не менее 10 000 очков), мы можем использовать следующую формулу для суммы геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{a \cdot (1 - r^n)}{1 - r}$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии (в данном случае, набранное Мишей количество очков, которое должно превысить 10 000).
• $a$ - первый член прогрессии (2 очка).
• $r$ - множитель (2).
• $n$ - количество двухминутных интервалов (которое нам нужно найти).

Мы хотим, чтобы $S_n$ было больше или равно 10 000. Теперь мы можем решить это уравнение:

$10000 \leq \frac{2 \cdot (1 - 2^n)}{1 - 2}$

Упростим:

$10000 \leq -2 \cdot (1 - 2^n)$

$10000 \leq -2 + 2^{n+1}$

$2^{n+1} \geq 10002$

Теперь возведем обе стороны в степень:

$n+1 \geq \log_2(10002)$

$n \geq \log_2(10002) - 1$

Вычислим значение:

$n \geq \log_2(10002) - 1 \approx 13.29$

Так как n должно быть целым числом (поскольку интервалы измеряются в двухминутных блоках), Миша перейдет на следующий уровень после 14 двухминутных интервалов.

Итак, Мише потребуется $14 \cdot 2 = 28$ минут, чтобы перейти на следующий уровень.