Question

Знайдіть область визначення y=√x^2+3x+2

Answer 1

Ответ: (-∞;-2]∪[-1;+∞)

Объяснение:

x²+3x+2≥0 - парабола, ветви вверх

x1=-2; x2=-1 - точки пересечения с осью ох

Область визначення (-∞;-2]∪[-1;+∞)

Answer 2

Для знаходження області визначення функції y = √(x^2 + 3x + 2), ми повинні врахувати дві умови:

1. Знаменник під квадратним коренем не може дорівнювати нулю, оскільки у такому випадку функція не буде визначеною. Тобто, x^2 + 3x + 2 ≠ 0.

2. Аргумент під квадратним коренем повинен бути невід'ємним числом, оскільки квадратний корінь з від'ємного числа не існує. Тобто, x^2 + 3x + 2 ≥ 0.

Знайдемо першу умову:

x^2 + 3x + 2 ≠ 0

Це квадратне рівняння, яке ми можемо розв'язати, використовуючи формулу дискримінанту. Дискримінант D обраховується за формулою D = b^2 - 4ac, де a, b і c - коефіцієнти квадратного рівняння.

У нашому випадку, a = 1, b = 3 і c = 2, тому D = 3^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1.

Так як дискримінант D дорівнює 1, то квадратне рівняння має два різних дійсних корені, і, отже, функція y = √(x^2 + 3x + 2) не має точок, в яких вона не визначена.

Знайдемо другу умову:

x^2 + 3x + 2 ≥ 0

Щоб знайти область, в якій ця нерівність виконується, ми можемо застосувати метод інтервалів або метод дослідження знаків.

Один з способів це зробити - це розкласти ліву частину нерівності на множники:

(x + 1)(x + 2) ≥ 0

Тепер ми можемо аналізувати знаки кожного з множників і визначити, в яких інтервалах нерівність виконується.

1. Коли x + 1 > 0 і x + 2 > 0, тобто x > -1 і x > -2, то обидва множники додатні. Тому, цей випадок нас не цікавить.

2. Коли x + 1 < 0 і x + 2 < 0, тобто x < -1 і x < -2, то обидва множники від'ємні. Тому, цей випадок також нас не цікавить.

3. Коли x + 1 > 0 і x + 2 < 0, тобто x > -1 і x < -2, то перший множник додатній, а другий - від'ємний. Цей випадок задовольняє нерівність.

4. Коли x + 1 < 0 і x + 2 > 0, тобто x < -1 і x > -2, то перший множник від'ємний, а другий - додатній. Цей випадок також задовольняє нерівність.

Таким чином, область визначення функції y = √(x^2 + 3x + 2) складається з усіх значень x, для яких x належить інтервалу (-∞, -2) об'єднаного з інтервалом (-1, +∞), тобто:

x ∈ (-∞, -2) ∪ (-1, +∞)