Question

Провести полное исследование функции и построить ее график y=ln(x^2+1) Сделайте, пожалуйста, максимально подробное решение, желательно на листочке

Answer 1

Ответ:

=================================

Объяснение:

Answer 2

Давайте проведем полное исследование функции \(y = \ln(x^2 + 1)\) и построим ее график. Я предоставлю вам подробное описание каждого этапа.

Шаг 1: Определение области определения функции Функция \(\ln(x^2 + 1)\) определена только для положительных аргументов внутри логарифма, то есть для \(x^2 + 1 > 0\). Это неравенство всегда верно, так как квадрат любого реального числа не может быть отрицательным, а прибавление 1 не изменит знак. Таким образом, область определения функции - это вся действительная числовая прямая: \(x \in (-\infty, +\infty)\).

Шаг 2: Найдем производную функции Чтобы найти производную функции \(y = \ln(x^2 + 1)\), используем цепное правило дифференцирования и свойство производной натурального логарифма. Производная \(\ln(u)\), где \(u\) - функция от \(x\), равна \(\frac{1}{u} \cdot u'\). В данном случае, \(u = x^2 + 1\), и его производная \(u' = 2x\):

\[ \begin{align*} y &= \ln(x^2 + 1) \\ y' &= \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) \\ y' &= \frac{2x}{x^2 + 1} \end{align*} \]

Шаг 3: Найдем точки экстремума и интервалы возрастания/убывания Чтобы найти точки экстремума и интервалы возрастания/убывания функции, приравняем производную \(y'\) к нулю и решим уравнение:

\[ \frac{2x}{x^2 + 1} = 0 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как числитель никогда не равен нулю.

Следовательно, функция \(y = \ln(x^2 + 1)\) не имеет точек экстремума и всегда возрастает.

Шаг 4: Найдем асимптоты функции Функция \(\ln(x^2 + 1)\) не имеет вертикальных асимптот, так как она всегда определена.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, рассмотрим, как ведет себя функция при \(x\to\infty\) и \(x\to-\infty\):

- При \(x\to\infty\):

\[ \lim_{x\to\infty} \ln(x^2 + 1) = \ln(\infty) = \infty \]

Это означает, что функция стремится к бесконечности при \(x\to\infty\).

- При \(x\to-\infty\):

\[ \lim_{x\to-\infty} \ln(x^2 + 1) = \ln(\infty) = \infty \]

Также функция стремится к бесконечности при \(x\to-\infty\).

Итак, у нас есть две горизонтальные асимптоты: \(y = +\infty\) при \(x\to\infty\) и \(y = -\infty\) при \(x\to-\infty\).

Шаг 5: Найдем точку перегиба функции Чтобы найти точку перегиба, найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю:

\[ y'' = \frac{d}{dx} \left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right) \]

Используя правило дифференцирования частного, мы получаем:

\[ y'' = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]

Упростим это выражение:

\[ y'' = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \]

Теперь приравняем \(y''\) к нулю и решим уравнение:

\[ \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 \]

Для \(2 - 2x^2 = 0\), получаем \(x^2 = 1\), что дает два корня: \(x = 1\) и \(x = -1\).

Шаг 6: Найдем значения функции в критических точках и определим выпуклость/вогнутость

- Подставим \(x = 1\):

\[ y(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln(2) \]

- Подставим \(x = -1\):

\[ y(-1) = \ln((-1)^2 + 1) = \ln(2) \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \((1, \ln(2))\) и \((-1, \ln(2))\).

Теперь определим, являются ли эти точки точками минимума или максимума, используя вторую производную \(y''\):

- Подставим \(x = 1\) в \(y''\):

\[ y''(1) = \frac{2 - 2(1)^2}{(1^2 + 1)^2} = \frac{0}{4} = 0 \]

- Подставим \(x = -1\) в \(y''\):

\[ y''(-