Question

Найдите производную функции, пожалуйста: 1) (5x-4)^6 2) 4/(3x-1)^2 3) 1/(4-3x)^5 4)cos^2x 5)sin^4x 6)e^-4x 7)In(-2x)

Answer 1

Ответ:

$1)y' = 6 {(5x - 4)}^{5} \times 5 = 30 {(5x - 4)}^{5}$

$2)y' = 4 \times ( - 2) {(3x - 1)}^{ - 3} \times 3 = \\ = - \frac{24}{ {(3x - 1)}^{3} }$

$3)y' = 1 \times ( - 5) {(4 - 3x)}^{ - 6} \times ( - 3) = \\ = \frac{15}{ {(4 - 3x)}^{6} }$

$4)y' = - 2 \sin(2x)$

$5)y'=4 { \sin }^{3} (x) \times \cos(x)$

$6)y' = - 4 {e}^{ - 4x}$

$7)y' = \frac{1}{ - 2x} \times ( - 2) = \frac{1}{x}$

Answer 2

Давайте найдем производные для каждой из данных функций.

1) $(5x-4)^6$:

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся цепным правилом (chain rule) и биномиальной формулой. Обозначим $u = 5x-4$, тогда функция будет выглядеть как $u^6$. По биномиальной формуле:

$$(u^n)' = n \cdot u^{(n-1)} \cdot u'$$

В данном случае, $n = 6$ и $u = 5x-4$, поэтому:

$$(5x-4)^6)' = 6 \cdot (5x-4)^{6-1} \cdot (5x-4)'$$

Сейчас нам нужно найти производную $(5x-4)'$, которая равна просто 5, так как производная линейной функции $ax + b$ равна $a$. Таким образом:

$$(5x-4)' = 5$$

Теперь вставляем эту информацию обратно в цепное правило:

$$(5x-4)^6)' = 6 \cdot (5x-4)^{6-1} \cdot 5 = 30 \cdot (5x-4)^5$$

2) $4/(3x-1)^2$:

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом степенной функции. Функция $f(x) = 4/(3x-1)^2$ может быть представлена как $f(x) = 4(3x-1)^{-2}$. Теперь применим правило степенной функции:

$$f'(x) = -2 \cdot 4(3x-1)^{-2-1} \cdot 3 = -8(3x-1)^{-3} \cdot 3 = -24(3x-1)^{-3}$$

3) $1/(4-3x)^5$:

Аналогично, чтобы найти производную этой функции, применим правило степенной функции:

$$f(x) = 1/(4-3x)^5 = (4-3x)^{-5}$$

Теперь используем правило степенной функции:

$$f'(x) = -5 \cdot (4-3x)^{-5-1} \cdot (-3) = 15(4-3x)^{-6}$$

4) $cos^2x$:

Производная квадрата косинуса равна:

$$d/dx (cos^2x) = 2cosx * (-sinx) = -2cosxsinx$$

5) $sin^4x$:

Производная квадрата синуса равна:

$$d/dx (sin^4x) = 4sin^3x * cosx$$

6) $e^{-4x}$:

Производная экспоненциальной функции $e^u$ равна $u'e^u$. В данном случае, $u = -4x$, поэтому производная будет:

$$d/dx (e^{-4x}) = -4e^{-4x}$$

7) $ln(-2x)$:

Производная натурального логарифма $ln(u)$ равна $u'/u$. В данном случае, $u = -2x$, поэтому производная будет:

$$d/dx (ln(-2x)) = (1/(-2x)) * (-2) = -1/x$$

Теперь у вас есть производные для всех данных функций.