Question

Решите неравенство sin x/2cos x/2 >-1/4​

Answer 1

Ответ:

$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} > - \frac{1}{4}$

сначала нужно умножить обе части неравенства на 2, и мы получим:

$2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} > - \frac{1}{2}$

потом применим формулу:

$\sin2 \alpha = 2 \sin \alpha \: \cos \alpha$

получим:

$\sin \: x > - \frac{1}{2}$

$arcsin( - \frac{1}{2} ) + 2\pi \: n < x < \pi - arcsin( - \frac{1}{2} ) + 2\pi \: n,n∈Z \\ - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n < x < \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n,n∈Z \\ - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi \: n,n∈Z \\ x∈( - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi \: n) ,\: n∈Z$

ОТВЕТ:

$x∈( - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi \: n) ,\: n∈Z$

Answer 2

Для решения неравенства sin(x/2)cos(x/2) > -1/4, начнем с преобразования исходного неравенства в более удобную форму.

Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Заметим, что в исходном неравенстве у нас есть произведение sin(x/2) и cos(x/2), поэтому мы можем попытаться выразить sin(x/2)cos(x/2) через sin(2θ):

sin(x/2)cos(x/2) = (1/2)sin(x)

Теперь мы можем заменить sin(x/2)cos(x/2) в исходном неравенстве и получить:

(1/2)sin(x) > -1/4

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

2sin(x) > -1

Теперь давайте изолируем sin(x) и разделим обе стороны на 2:

sin(x) > -1/2

Теперь неравенство сводится к поиску всех значений x, для которых синус x больше, чем -1/2.

Синус функция принимает значения от -1 до 1, поэтому наше неравенство будет выполняться для всех x, кроме тех случаев, когда sin(x) равен -1/2.

Чтобы найти такие x, рассмотрим обратную функцию sin^(-1)(x), также известную как арксинус. Для sin(x) = -1/2, арксинус равен -π/6 или -30 градусов.

Таким образом, неравенство sin(x/2)cos(x/2) > -1/4 выполняется для всех x, кроме x, равных -π/6 + 2πk (где k - целое число) или в радианах -π/6 + 2πk (где k - целое число). Это можно записать следующим образом:

x ≠ -π/6 + 2πk, где k - целое число

Итак, решением неравенства sin(x/2)cos(x/2) > -1/4 являются все значения x, кроме x = -π/6 + 2πk, где k - целое число.