Question

Найти решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Answer 1

Ответ:

$\cos(4y) \times \frac{dy}{dx} = {e}^{2x} \\ \int\limits \cos(4y) dy = \int\limits {e}^{2x} dx \\ \frac{1}{4} \int\limits \cos(4y) d(4y) = \frac{1}{2} \int\limits {e}^{2x} d(2x) \\ \frac{1}{4} \sin(4y) = \frac{1}{2} {e}^{2x} + C \\ \sin(4y) = 2 {e}^{2x} + 4C \\ \sin(4y) = 2 {e}^{2x} + C$

общее решение

Answer 2

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - это уравнения, в которых выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него .

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство. Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде .

Пример решения дифференциального уравнения с разделенными переменными:

1. Проинтегрируем обе части равенства. По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных .

2. Мы пришли к неявно заданной функции, которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. То есть, y = F(x), где F(x) - это некоторое выражение, содержащее x .

3. Ответ можно записать в любом из трех видов: y = F(x), y = C1 * F(x), y = C1 * F(x) + C2, где C1 и C2 – произвольные постоянные .

4. Если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0 .

Важно отметить, что дифференциальные уравнения могут быть не только с разделяющимися переменными, но и другими типами, такими как уравнения Бернулли, уравнения в частных производных и т.д. , [Source 8](