Question

3. В геометрической прогрессии: если b2 - b1 = 18, b3 - b1 = -18, то: а) Определите первый член и кратность геометрической прогрессии.б) Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.​

Answer 1

Ответ:

$\left\{\begin{array}{l}b_2-b_1=18\\b_3-b_1=-18\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1q-b_1=18\\b_1q^2-b_1=-18\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1\, (q-1)=18\\b_1\, (q^2-1)=-18\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=18\\\underbrace {b_1(q-1)}_{18}(q+1)=-18\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=18\\18\cdot (q+1)=-18\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1(q-1)=18\\q+1=-1\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}b_1\cdot (-2-1)=18\\q=-2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1=-6\\q=-2\end{array}\right\\\\\\b)\ \ S_5=\dfrac{b_1\, (q^5-1)}{q-1}=\dfrac{-6\cdot ((-2)^5-1)}{-2-1}=\dfrac{-6\cdot (-33)}{-3}=-6\cdot 11=-66$

Answer 2

Для решения этой задачи сначала найдем первый член и кратность геометрической прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен "a", а кратность равна "q". Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

b1 = a b2 = a * q b3 = a * q^2

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. b2 - b1 = 18 2. b3 - b1 = -18

Подставим выражения для b2 и b3 из формул выше и решим систему уравнений:

1. a * q - a = 18 2. a * q^2 - a = -18

Теперь объединим оба уравнения:

a * q - a = 18 a * q^2 - a = -18

Выразим "a" из первого уравнения:

a = 18 / (q - 1)

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

(18 / (q - 1)) * q^2 - 18 / (q - 1) = -18

Умножим обе стороны на (q - 1), чтобы избавиться от дробей:

18q^2 - 18 = -18(q - 1)

Раскроем скобки:

18q^2 - 18 = -18q + 18

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

18q^2 + 18q - 36 = 0

Делаем делимость на 18:

q^2 + q - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Так как D положительный, у нас есть два корня:

q1 = (-1 + √9) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2 q2 = (-1 - √9) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть два значения для "q": q1 = 2 и q2 = -1. Но кратность геометрической прогрессии должна быть положительной, поэтому выбираем q = 2.

Теперь, когда у нас есть значение "q", мы можем найти первый член "a":

a = 18 / (q - 1) = 18 / (2 - 1) = 18 / 1 = 18

Таким образом, первый член геометрической прогрессии (a) равен 18, а кратность (q) равна 2.

Теперь найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Для этого используем формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Где: S_n - сумма первых n членов геометрической прогрессии. a - первый член геометрической прогрессии. q - кратность геометрической прогрессии. n - количество членов.

В данном случае, a = 18, q = 2, и n = 5. Подставим эти значения в формулу:

S_5 = 18 * (1 - 2^5) / (1 - 2)

S_5 = 18 * (1 - 32) / (-1)

S_5 = 18 * (-31) / (-1)

S_5 = -558

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна -558.