Question

2sin^4 x + 3cos2x +1= 0 а)решить уравнение б)Найти все корни принадлежащие отрезку [П : 3П] Помогите решить,а то сижу парюсь,не могу разобраться.

Answer 1

2sin^4 x + 3(1 - 2sin^2 x) + 1 = 0
2sin^4 x + 3 - 6sin^2 x + 1 = 0
2sin^4 x - 6sin^2 x + 4 = 0
Замена sin^2 x = y; по определению синуса 0 <= y <= 1
Делим все на 2.
y^2 - 3y + 2 = 0
(y - 1)(y - 2) = 0
y1 = 2 - не подходит
y2 = 1 - подходит
sin^2 x = 1
cos^2 x = 1 - sin^2 x = 0
cos x = 0; x = pi/2 + pi*k
На промежутке [pi; 3pi] будут корни:
x1 = pi + pi/2 = 3pi/2
x2 = 2pi + pi/2 = 5pi/2

Answer 2

Для решения данного уравнения 2sin^4(x) + 3cos(2x) + 1 = 0, мы можем использовать различные методы. Один из таких методов - это подстановка и использование тригонометрических идентичностей.

Решение уравнения

Давайте начнем с приведения уравнения к виду, который легче решить. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1 для замены sin^4(x) и cos(2x):

2(1 - cos^2(x))^2 + 3cos(2x) + 1 = 0

Раскроем скобки и получим:

2(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) + 3cos(2x) + 1 = 0

Упростим уравнение:

2 - 4cos^2(x) + 2cos^4(x) + 3cos(2x) + 1 = 0

Теперь мы можем заметить, что у нас есть два члена с косинусом 2x. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 для замены cos(2x):

2 - 4cos^2(x) + 2cos^4(x) + 3(2cos^2(x) - 1) + 1 = 0

Раскроем скобки и упростим:

2 - 4cos^2(x) + 2cos^4(x) + 6cos^2(x) - 3 + 1 = 0

2cos^4(x) + 2cos^2(x) - 2cos^2(x) - 3 = 0

2cos^2(x)(cos^2(x) + 1) - 2cos^2(x) - 3 = 0

Теперь мы можем заметить, что у нас есть общий множитель cos^2(x), который мы можем вынести:

2cos^2(x)(cos^2(x) + 1) - (cos^2(x) + 1) = 0

(cos^2(x) + 1)(2cos^2(x) - 1) = 0

Теперь мы можем решить два уравнения:

1) cos^2(x) + 1 = 0

2) 2cos^2(x) - 1 = 0

Решение уравнения cos^2(x) + 1 = 0

Уравнение cos^2(x) + 1 = 0 не имеет решений, так как квадрат косинуса не может быть отрицательным.

Решение уравнения 2cos^2(x) - 1 = 0

2cos^2(x) - 1 = 0 2cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 1/2

Теперь найдем значения x, для которых cos^2(x) = 1/2. Мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью cos^2(x) = 1/2, которая гласит:

cos(x) = ±√(1/2)

cos(x) = ±1/√2

Так как нас интересуют значения x в пределах отрезка [π, 3π], мы можем использовать таблицу значений косинуса, чтобы найти соответствующие значения x:

cos(x) = 1/√2 при x = π/4 и x = 7π/4 cos(x) = -1/√2 при x = 3π/4 и x = 5π/4

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 3π], равны:

x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4

Ответ

а) Уравнение 2sin^4(x) + 3cos(2x) + 1 = 0 не имеет решений. б) Корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 3π], равны x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.