Question

Числа x и y удовлетворяют неравенствам x^3> y^2 и y^3>x^2. Докажите, что y>1​

Answer 1

Ответ:

x³>y², y³>x².

Если x³ больше y², а из квадрата всегда выходит положительное число, то x - положительное число.

В неравенстве y³>x², x² является 100% положительным числом. Соответственно, чтобы y³ быть больше х², ему необходимо быть числом выше одного.

Что и требовалось доказать, у>1.

Answer 2

Из неравенства \(x^3 > y^2\) можно сделать вывод, что \(x > \sqrt[3]{y^2}\). А из неравенства \(y^3 > x^2\) можно сделать вывод, что \(y > \sqrt[3]{x^2}\).

Предположим, что \(y \leq 1\). Тогда из этого предположения следует, что \(\sqrt[3]{x^2} \leq 1\). Возведем это неравенство в куб и получим \(x^2 \leq 1\). Теперь возведем это неравенство в квадрат и получим \(x^4 \leq 1\). Также из предположения \(y \leq 1\) следует, что \(y^2 \leq 1\). Теперь объединим эти два неравенства: \(x^4 + y^2 \leq 2\).

Но из условия задачи нам известно, что \(x^3 > y^2\), поэтому \(x^4 > x\cdot y^2\). Таким образом, мы можем заменить \(x^4 + y^2\) на \(x\cdot y^2 + y^2\), что приводит к неравенству \(x\cdot y^2 + y^2 \leq 2\).

Теперь рассмотрим неравенство \(x\cdot y^2 + y^2 \leq 2\): \[y^2 \cdot (x + 1) \leq 2\] Так как \(y^2\) положительно, то мы можем разделить обе части неравенства на \(y^2\): \[x + 1 \leq \frac{2}{y^2}\] Так как \(y \leq 1\), то \(y^2 \leq 1\), и мы можем заменить \(\frac{2}{y^2}\) на \(\frac{2}{1} = 2\): \[x + 1 \leq 2\] \[x \leq 1\]

Таким образом, мы получили, что \(x \leq 1\), что противоречит нашему предположению \(x > \sqrt[3]{y^2}\). Следовательно, наше предположение \(y \leq 1\) неверно, и мы можем заключить, что \(y > 1\).