Question

При каких значениях параметра а корни x1 и x2 уравнения ax^2 + (1-a)x +a =0 удовлетворяют неравенствам x1<1<x2

Answer 1

D=-3a^2-2a+1

x1=(a-1+корень(-3a^2-2a+1))/2a

x2=(a-1-корень(-3a^2-2a+1))/2a

((a-1+корень(-3a^2-2a+1))/2a)>1            ((a-1-корень(-3a^2-2a+1))/2a)<1

a>1 a<0                                                   -1<a<2/3

 

Ответ:-1<a<0

Answer 2

Для уравнения вида $ax^2 + (1-a)x + a = 0$, где $a$ - параметр, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют неравенству $x_1 < 1 < x_2$ при следующих значениях параметра $a$:

1. Когда $a < 0$: - В этом случае, чтобы уравнение имело два корня, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был положительным: $D = (1-a)^2 - 4a > 0$. - Раскрывая скобки и упрощая неравенство, получаем: $a^2 - 3a + 1 > 0$. - Решая это квадратное неравенство, получаем: $a < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ или $a > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

2. Когда $a > 0$: - В этом случае, чтобы уравнение имело два корня, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был положительным: $D = (1-a)^2 - 4a > 0$. - Раскрывая скобки и упрощая неравенство, получаем: $a^2 - 3a + 1 > 0$. - Решая это квадратное неравенство, получаем: $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < a < \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

3. Когда $a = 0$: - В этом случае уравнение принимает вид $x = 0$, и неравенство $x_1 < 1 < x_2$ не выполняется.

Таким образом, корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $ax^2 + (1-a)x + a = 0$ удовлетворяют неравенству $x_1 < 1 < x_2$ при значениях параметра $a$, удовлетворяющих условиям $a < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ или $a > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Примечание: Данный ответ основан на результате поиска и может быть проверен по следующим источникам: [[1]]