Question

Известно, что НОК натуральных чисел a и b (где a меньше b), на 29 больше НОД этих же чисел. Найди все такие пары чисел. Запиши все возможные значения a по возрастанию через запятую и все соответствующие им значения b.  ​

Answer 1

Ответ:

А=30 В=1

А=15 В=2

А=10 В=3

А=6 В=5

Объяснение:

Пусть НОК = К, НОД = D, тогда

а = К*A, b = K*В, D = K*A*B (

K*A*B - K = 29 по условию => К*(А*В-1) = 29 (

1) К=29, A*B-1=1 => A*B=2 => A=2, B =1 (так как а>b). а = 58, b = 29

2) К=1, А*В-1=29 => A*B=30=2*3*5

А=30 В=1

А=15 В=2

А=10 В=3

А=6 В=5

Так как К = 1, то это остальные пары a,b

Answer 2

Пусть НОД(a, b) = d, тогда НОК(a, b) = a * b / d.

Задача состоит в том, чтобы найти все такие пары чисел a и b, где НОК(a, b) на 29 больше НОД(a, b).

Из данного условия следует уравнение: a * b / d + 29 = d.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: a * b / d - d + 29 = 0.

Мы можем переписать это уравнение, учитывая, что a < b и d - делитель a и b: (a * b - d^2 + 29d) / d = 0.

Рассмотрим факторизованное выражение: (a - d)(b + 29) = 0.

Из этого выражения следует, что либо (a - d) = 0, либо (b + 29) = 0.

Рассмотрим первую возможность: (a - d) = 0 => a = d.

Теперь рассмотрим вторую возможность: (b + 29) = 0 => b = -29.

Таким образом, имеем две возможные пары чисел: (a, b) = (d, -29).

Следовательно, все возможные значения a являются значениями НОД(a, b), поэтому эти значения могут быть любыми натуральными числами, которые делятся на 29.

Итак, все возможные значения a являются кратными 29 и возрастают по порядку: 29, 58, 87, 116, ...

Соответствующие им значения b будут равны (-29), (-58), (-87), (-116), ...