Question

Сумма третьего ,седьмого ,четырнадцатого и восемнадцатого членов арифметической прогрессии равна 48. Найдите сумму первых 20-ти члленов

Answer 1

1) a1 + a7+a14+a18 = 48

    4a1 + 38d = 48    /2

     2a1 + 19d = 24

2) S 20 = (2a1 +19d) / 2 х 20 = 24 х 10 = 240

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для того чтобы найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, сначала нужно найти значения третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии. Затем суммируем их и получаем ответ.

Для нахождения членов арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) * d\]

Где: - \(a_n\) - значение n-го члена прогрессии, - \(a_1\) - значение первого члена прогрессии, - \(n\) - порядковый номер члена в прогрессии, - \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

Теперь найдем значения третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов.

1. Третий член (\(a_3\)): \[a_3 = a_1 + (3 - 1) * d\]

2. Седьмой член (\(a_7\)): \[a_7 = a_1 + (7 - 1) * d\]

3. Четырнадцатый член (\(a_{14}\)): \[a_{14} = a_1 + (14 - 1) * d\]

4. Восемнадцатый член (\(a_{18}\)): \[a_{18} = a_1 + (18 - 1) * d\]

Теперь у нас есть четыре уравнения, но мы не знаем значения \(a_1\) и \(d\). Однако мы знаем, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов равна 48:

\[a_3 + a_7 + a_{14} + a_{18} = 48\]

Подставим найденные формулы для членов:

\[(a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 13d) + (a_1 + 17d) = 48\]

Теперь объединим члены с одинаковыми переменными и упростим уравнение:

\[4a_1 + 38d = 48\]

Теперь мы можем выразить \(a_1\) через \(d\):

\[4a_1 = 48 - 38d\] \[a_1 = 12 - 9.5d\]

Теперь, когда у нас есть значение \(a_1\), мы можем найти значения третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов.

1. Третий член (\(a_3\)): \[a_3 = 12 - 9.5d + 2d\]

2. Седьмой член (\(a_7\)): \[a_7 = 12 - 9.5d + 6d\]

3. Четырнадцатый член (\(a_{14}\)): \[a_{14} = 12 - 9.5d + 13d\]

4. Восемнадцатый член (\(a_{18}\)): \[a_{18} = 12 - 9.5d + 17d\]

Теперь у нас есть значения \(a_3\), \(a_7\), \(a_{14}\) и \(a_{18}\). Мы можем найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, используя формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

В данном случае, \(n = 20\). Подставим значения \(a_1\) и \(d\) в формулу:

\[S_{20} = \frac{20}{2}(2(12 - 9.5d) + (20-1)d)\]

Выразим сумму \(S_{20}\) и вычислим её:

\[S_{20} = 10(24 - 19d + 19d - d)\] \[S_{20} = 10 * 24\] \[S_{20} = 240\]

Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 240.