Question

16х(32х^2+1)≤-32+(8х-1)(64х^2+8х+1)​

Answer 1

$\displaystyle \tt 16x(32x^2+1)\leq -32+(8x-1)(64x^2+8x+1)\\\displaystyle \tt 512x^3+16x\leq -32+512x^3-1\\\displaystyle \tt 16x\leq -32-1\\\displaystyle \tt 16x\leq -33\\\\ \displaystyle \tt x\leq -2\frac{1}{16}$

Ответ:

$\displaystyle \tt x\in (-\infty; \: -2\frac{1}{16}]$

Answer 2

Давайте решим данное неравенство пошагово:

1. Раскроем скобки в выражении:

16х(32х^2+1) ≤ -32 + (8х-1)(64х^2+8х+1)

Получаем:

512х^3 + 16х ≤ -32 + 512х^3 + 64х^3 + 8х^2 - 8х + 64х^2 + 8х - х - 8 + 1

2. Сократим подобные слагаемые:

512х^3 + 16х ≤ 512х^3 + 64х^3 + 8х^2 - 8х + 64х^2 + 8х - х - 8 + 1

512х^3 + 16х ≤ 576х^3 + 72х^2 - 9х - 7

3. Перенесем все слагаемые на одну сторону неравенства:

0 ≤ 64х^3 + 72х^2 - 25х - 15

4. Постараемся упростить выражение. Можем заметить, что 5 является корнем данного уравнения, поэтому разделим его на (х - 5):

0 ≤ (х - 5)(64х^2 + 352х + 3)

5. Теперь решим квадратное уравнение в скобках:

64х^2 + 352х + 3 = 0

Применим формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 352^2 - 4(64)(3) = 123904 - 768 = 123136

6. Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два вещественных корня:

x = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (-352 + √123136) / (2 * 64) ≈ -3.869

x₂ = (-352 - √123136) / (2 * 64) ≈ -7.381

7. Теперь мы можем построить таблицу знаков и определить интервалы, на которых исходное неравенство выполняется:

| | (-∞, -7.381) | (-7.381, -3.869) | (-3.869, 5) | (5, +∞) | |:---------:|:-----------:|:---------------:|:-----------:|:--------------:| | f(x) | - | + | - | + |

8. Исходя из таблицы знаков, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -7.381) и (5, +∞).

Таким образом, решением данного неравенства являются все значения x, лежащие в интервалах (-∞, -7.381) и (5, +∞).