Question

Решите неравенство (х^2-3x-1)^2≤(x^2+7x+1)^2

Answer 1

[-2≤x≤-(1/5);x≥0] ( ＾◡＾)っ

Answer 2

Неравенство, которое вам дано, выглядит следующим образом:

(x^2 - 3x - 1)^2 ≤ (x^2 + 7x + 1)^2

Давайте решим его поэтапно.

Шаг 1: Раскрыть квадраты

Воспользуемся свойством раскрытия квадратов:

(x^2 - 3x - 1)^2 = (x^2 - 3x - 1) * (x^2 - 3x - 1) (x^2 + 7x + 1)^2 = (x^2 + 7x + 1) * (x^2 + 7x + 1)

Раскроем каждое из этих выражений:

(x^2 - 3x - 1) * (x^2 - 3x - 1) = x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 6x + 1 (x^2 + 7x + 1) * (x^2 + 7x + 1) = x^4 + 14x^3 + 50x^2 + 14x + 1

Теперь неравенство принимает вид:

x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 6x + 1 ≤ x^4 + 14x^3 + 50x^2 + 14x + 1

Шаг 2: Упростить неравенство

Упростим это неравенство, вычитая одну сторону от другой:

(x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 6x + 1) - (x^4 + 14x^3 + 50x^2 + 14x + 1) ≤ 0

Это приводит к следующему:

-20x^3 - 45x^2 - 8x ≤ 0

Шаг 3: Решить неравенство

Для решения этого неравенства, нам нужно найти значения x, при которых левая сторона неравенства меньше или равна нулю.

Один из способов решения этого неравенства - использовать метод интервалов знаков. Для этого мы будем исследовать знаки выражения -20x^3 - 45x^2 - 8x в разных интервалах.

Шаг 3.1: Найти точки, где выражение равно нулю

Установим выражение равным нулю и решим уравнение:

-20x^3 - 45x^2 - 8x = 0

Мы видим, что x = 0 - это одно из решений.

Шаг 3.2: Исследование знаков в интервалах

Теперь разделим ось x на три интервала, используя найденные нами точки, где выражение равно нулю:

1. x < 0 2. 0 < x < 1 3. x > 1

В каждом из этих интервалов возьмем по одной точке и подставим их в исходное выражение, чтобы определить знак выражения внутри каждого интервала.

Давайте возьмем следующие точки:

1. x = -1 (в интервале x < 0) 2. x = 0.5 (в интервале 0 < x < 1) 3. x = 2 (в интервале x > 1)

Шаг 3.3: Определение знаков

Теперь подставим эти точки в выражение -20x^3 - 45x^2 - 8x и определим знаки:

1. При x = -1: -20(-1)^3 - 45(-1)^2 - 8(-1) = -20 + 45 + 8 = 33 (положительное) 2. При x = 0.5: -20(0.5)^3 - 45(0.5)^2 - 8(0.5) = -5 - 5.625 - 4 = -14.625 (отрицательное) 3. При x = 2: -20(2)^3 - 45(2)^2 - 8(2) = -160 - 180 - 16 = -356 (отрицательное)

Шаг 3.4: Определение интервалов, где неравенство выполняется

Теперь, исходя из знаков, мы можем определить интервалы, в которых левая сторона неравенства меньше или равна нулю:

1. В интервале x < 0, выражение -20x^3 - 45x^2 - 8x меньше или равно нулю. 2. В интервале 0 < x < 1, выражение -20x^3 - 45x^2 - 8x больше нуля. 3. В интервале x > 1, выражение -20x^3 - 45x^2 - 8x меньше нуля.

Таким образом, неравенство (x^2 - 3x - 1)^2 ≤ (x^2 + 7x + 1)^2 выполняется в интервале x < 0.