Question

Lg(3x^2+12x+19)-lg(3x+4)=1

Answer 1

$\lg(3x^2+12x+19)-\lg(3x+4)=1$

одз:

$\left \{ {{3x^2+12x+19>0} \atop {3x+4>0}} \right. \\3x^2+12x+19=0\\\left \{ {{D=12^2-12*190}} \right. \Rightarrow 3x^2+12x+19>0 ,\forall \ x\in R\\3x+4>0\\3x>-4\\x>-\frac{4}{3}\\x\in(-\frac{4}{3};+\infty)\\\left \{ {{x\in R} \atop {x\in(-\frac{4}{3};+\infty)}} \right. \Rightarrow x\in(-\frac{4}{3};+\infty)$

решаем уравнение:

$\lg(3x^2+12x+19)-\lg(3x+4)=1\\\lg(\frac{3x^2+12x+19}{3x+4})=1\\\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=10^1\\3x^2+12x+19=10(3x+4)\\3x^2+12x+19=30x+40\\3x^2-18x-21=0\\x^2-6x-7=0\\D=36+28=64=8^2\\x_1=\frac{6-8}{2}=-1\in (-\frac{4}{3};+\infty)\\x_2=\frac{6+8}{2}=7\in (-\frac{4}{3};+\infty)$

Ответ: -1; 7

Answer 2

Для решения данного логарифмического уравнения, начнем с того, чтобы привести его к более простому виду. Ваше уравнение выглядит следующим образом:

lg(3x^2 + 12x + 19) - lg(3x + 4) = 1

Давайте используем свойство логарифмов, которое гласит, что разность логарифмов одного и того же основания равна логарифму отношения аргументов. Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

lg((3x^2 + 12x + 19) / (3x + 4)) = 1

Далее, давайте избавимся от логарифма, возводя обе стороны уравнения в степень 10 (основание логарифма):

(3x^2 + 12x + 19) / (3x + 4) = 10^1

Упростим уравнение:

(3x^2 + 12x + 19) / (3x + 4) = 10

Теперь, давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на (3x + 4):

3x^2 + 12x + 19 = 10(3x + 4)

3x^2 + 12x + 19 = 30x + 40

Теперь сгруппируем все члены в уравнении на одной стороне:

3x^2 + 12x - 30x + 19 - 40 = 0

3x^2 - 18x - 21 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Давайте попробуем решить его с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

a = 3, b = -18, c = -21

D = (-18)^2 - 4 * 3 * (-21)

D = 324 + 252

D = 576

Дискриминант положительный, что означает, что у нас есть два действительных корня. Мы можем использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (18 ± √576) / (2 * 3)

x = (18 ± 24) / 6

Теперь найдем два корня:

1. x1 = (18 + 24) / 6 = 42 / 6 = 7 2. x2 = (18 - 24) / 6 = -6 / 6 = -1

Таким образом, уравнение имеет два решения: x1 = 7 и x2 = -1.