Question

Arctgx+arctg(-2)=arcctg(-2)

Answer 1

$arctg(x)+arctg(-2)=arcctg(-2)\\arctg(x)=arctg(2)-arcctg(2)\\x=tg(arctg(2)-arcctg(2))\\x=\frac{tg(-arcctg(2))+tg(arctg(2))}{1-tg(-arcctg(2))tg(arctg(2))}\\x=\frac{2-\frac{1}{2}}{1+1}=\frac{3}{4}$

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство арктангенса и арккотангенса:

1) arctgx(a) = arcctg(1/a)

2) arctg(-a) = -arctg(a)

Начнем с первого выражения:

arctgx + arctg(-2) = arcctg(-2)

Подставим значение арктангенса:

arctan(x) + arctan(y) = arccot(y)

arctan(x) + arctan(-2) = arccot(-2)

Используем свойство арктангенса:

arctan(-2) = - arctan(2)

arctan(x) - arctan(2) = arccot(-2)

Теперь применим свойство аркотангенса:

arccot(2) = pi/2 - arctan(2)

arctan(x) - arctan(2) = pi/2 - arctan(2)

Теперь сложим arctan(2) с обеих сторон:

arctan(x) = pi/2

x = tg(pi/2)

В результате получаем, что x = бесконечность.

Итак, решение уравнения arctgx + arctg(-2) = arcctg(-2) есть x = бесконечность.