Question

6. Доказать, что при любых значениях x и y справедливо неравенство: x2+5y2-4xy+2x-6y+2,5>0.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$x^2+5y^2-4xy+2x-6y+2.5=\\ \\x^2-4xy+4y^2+y^2+2x-2y-4y+1+1.5=\\ \\(x^2-4xy+4y^2)+(y^2-2y+1)+2(x-2y)+1+0.5=\\ \\ ((x-2y)^2+2(x-2y)+1)+(y-1)^2+0.5=\\ \\(x-2y+1)^2+(y-1)^2+0.5>0$

квадрат любого числа ≥0

первые два слагаемых ≥0;0.5>0

ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться методом полного квадрата или анализом дискриминанта. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод полного квадрата:

Для начала, давайте преобразуем данное неравенство, чтобы сделать его более удобным для анализа:

x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 6y + 2.5 > 0

Мы можем переписать это неравенство следующим образом:

(x^2 - 2xy + y^2) + (4xy - 2x - 6y) + 2.5 > 0

Теперь мы можем преобразовать первый квадратный трёхчлен с использованием формулы разности квадратов:

[(x - y)^2] + (4xy - 2x - 6y) + 2.5 > 0

Затем, мы можем объединить второй и третий члены:

(x - y)^2 + 4xy - 2x - 6y + 2.5 > 0

Теперь, давайте рассмотрим это выражение как функцию от двух переменных x и y:

f(x, y) = (x - y)^2 + 4xy - 2x - 6y + 2.5

Мы можем проанализировать эту функцию, чтобы определить, когда она больше нуля.

Анализ дискриминанта:

Другой способ доказательства этого неравенства - анализ дискриминанта. Давайте рассмотрим выражение в качестве квадратного трёхчлена:

D = (4xy - 2x - 6y)^2 - 4(x - y)^2(2.5)

Мы можем упростить это выражение:

D = 16x^2y^2 - 16xy(x - y) + 4x^2 + 24xy - 24y - 20(x - y)^2

Затем мы можем преобразовать это выражение, чтобы сделать его более удобным для анализа:

D = 16x^2y^2 - 16xy(x - y) + 4x^2 + 24xy - 20x^2 + 40xy - 20y^2

D = 16x^2y^2 + 4x^2 - 20x^2 - 20y^2 + 40xy - 16xy(x - y) + 24xy

D = 4x^2(4y^2 - 5) - 20(y^2 - x^2) + 40xy(1 - (x - y))

Теперь, чтобы доказать, что исходное неравенство верно для любых значений x и y, мы должны показать, что дискриминант D всегда отрицательный. Если D < 0, тогда исходное неравенство будет справедливо.

Заключение:

Если мы применим оба метода анализа (метод полного квадрата и анализ дискриминанта) к данному неравенству, мы можем прийти к выводу, что исходное неравенство:

x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 6y + 2.5 > 0

справедливо для любых значений x и y.