Question

Найдите точку экстремума функции f(x)=x^2*(2X - 1) - 8 Какие из них являются точками максимума, а какие - точки минимума? Заранее спасибо.

Answer 1

y'=6x²-2x

6x²-2x=0

x=0 - max

x=⅓ - min

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = x^2(2x - 1) - 8 сначала найдем производную функции и приравняем ее к нулю. Это позволит нам найти значения x, в которых производная равна нулю, что является необходимым условием для точек экстремума. Затем мы проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума.

1. Найдем производную f(x):

f'(x) = d/dx [x^2(2x - 1) - 8] f'(x) = 2x(2x - 1) + x^2(2)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2x(2x - 1) + 2x^2 = 0

Упростим уравнение:

2x(4x - 1) + 2x^2 = 0

4x^2 - 2x + 2x^2 = 0

6x^2 - 2x = 0

2x(3x - 1) = 0

Теперь разделим оба множителя на 2x:

2x = 0 => x = 0 3x - 1 = 0 => 3x = 1 => x = 1/3

Итак, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = 1/3.

2. Теперь найдем вторую производную f''(x) для проверки типа экстремума в этих точках:

f''(x) = d^2/dx^2 [2x(4x - 1) + 2x^2] f''(x) = d^2/dx^2 [8x^2 - 2x + 2x^2] f''(x) = d^2/dx^2 [10x^2 - 2x]

f''(x) = 20x - 2

Теперь подставим найденные значения x (x = 0 и x = 1/3) во вторую производную:

Для x = 0: f''(0) = 20(0) - 2 = -2

Для x = 1/3: f''(1/3) = 20(1/3) - 2 = (20/3) - 2 = (20 - 6) / 3 = 14/3

Теперь определим тип экстремума:

1. Если f''(x) < 0, то это точка максимума. 2. Если f''(x) > 0, то это точка минимума.

Для x = 0: f''(0) = -2 < 0, поэтому x = 0 - точка максимума.

Для x = 1/3: f''(1/3) = 14/3 > 0, поэтому x = 1/3 - точка минимума.

Итак, точка x = 0 является точкой максимума, а точка x = 1/3 - точкой минимума функции f(x) = x^2(2x - 1) - 8.