Question

Срочно! √(n+√(n+√(n+...√n)))...)=m , где m и n неотрицательные, рациональные, целые числа, а корней 2019. Найдите все возможные m и n, не обязательно различные. P.S. Про 0 я знаю, по сути нужно доказать почему только 0 подходит

Answer 1

Итак, окончательно мы решили, что n и m - целые числа. Проделаем 2018 операций следующего вида: возводим равенство в квадрат и переносим n вправо. Получаем равенство

$\sqrt{n}=(\ldots((m^2-n)^2-n)^2-\ldots )^2-n$

Справа стоит целое число, n является его квадратом. Для нас важно только, что $n=k^2$ для некоторого целого неотрицательного числа.  Перенося n налево и заменяя $n^2$ на k, получаем равенство вида $k^2+k=A^2;\ k(k+1)=A^2$

1-й случай. k=0; n=0; m=0. Автор задачи про этот случай знает.

2-й случай. k>0. Докажем, что произведение двух соседних натуральных чисел не может быть полным квадратом. k=1; k+1=2, произведение равно 2 - это не есть полный квадрат. k=2; k+1=3; произведение равно 6 - это не есть полный квадрат. Почему ни при каком натуральном k произведение не может быть полным квадратом? Дело в том, что у соседних натуральных чисел не может быть общих множителей, кроме 1. Поэтому, если их произведение является полным квадратом, каждое из этих чисел должно быть полным квадратом, чего быть не может быть - единственный случай, когда расстояние между квадратами целых неотрицательных чисел равно 1 - это 0 и 1, а этот случай мы уже рассмотрели.

Ответ: n=m=0

Answer 2

Дано выражение √(n+√(n+√(n+...√n)))..., где корней 2019. Обозначим это выражение за Х.

Тогда Х = √(n + Х), так как внутри корня стоит само выражение Х.

Возводим обе части уравнения в квадрат: Х^2 = n + Х

Переносим все в одну сторону: Х^2 - Х - n = 0

Теперь решаем квадратное уравнение относительно Х. Дискриминант этого уравнения равен: D = 1 - 4(-n) = 1 + 4n

Для того, чтобы уравнение имело рациональные корни, необходимо чтобы дискриминант был полным квадратом.

То есть, необходимо найти такие значения n, чтобы выражение 1 + 4n было полным квадратом.

Рассмотрим случай, когда D = (2k + 1)^2, где k - целое число.

Тогда, 1 + 4n = (2k + 1)^2

Раскрываем скобки: 1 + 4n = 4k^2 + 4k + 1

Упрощаем: 4n = 4k^2 + 4k

Делим все на 4: n = k^2 + k

Таким образом, для всех целых чисел k, значение n = k^2 + k будет удовлетворять условию.

Теперь найдем значение m.

Подставляем полученное значение n в исходное выражение: Х = √(n + Х) Х = √(k^2 + k + Х)

Возводим обе части уравнения в квадрат: Х^2 = k^2 + k + Х

Переносим все в одну сторону: Х^2 - Х - k^2 - k = 0

Теперь решаем квадратное уравнение относительно Х. Дискриминант этого уравнения равен: D = 1 - 4(-k^2 - k) = 1 + 4k^2 + 4k

Для того, чтобы уравнение имело рациональные корни, необходимо чтобы дискриминант был полным квадратом.

То есть, необходимо найти такие значения k, чтобы выражение 1 + 4k^2 + 4k было полным квадратом.

Подобно предыдущему рассуждению, получаем, что для всех целых чисел k, значение m = 1 + 4k^2 + 4k будет удовлетворять условию.

Таким образом, все возможные значения m и n, не обязательно различные, будут соответствовать парам целых чисел (m, n), где n = k^2 + k и m = 1 + 4k^2 + 4k, а k - произвольное целое число.