Question

При яких значеннях параметра а нерівність ax^2-4x+a+3<0 виконується при всіх дійсних значеннях х

Answer 1

Ответ:

a ∈ (-∞; -4)

Объяснение:

Перевод: При каких значениях параметра а неравенство

a·x²- 4·x + a + 3 < 0

выполняется при всех действительных значениях х?

Решение. Неравенство рассматривается как параметрическое и поэтому исследуем при различных критических значениях параметра а.

1-случай: а = 0. Тогда получаем неравенство

-4·x + 3 < 0 ⇔ 3 < 4·x ⇔ 3/4 < x

и решением будет интервал (3/4; +∞).

Так как неравенство выполняется не при всех действительных значениях х, то этот случай не подходит.

2-случай: а ≠ 0. По свойству квадратной функции

y = a·x² + b·x + c

её значения будут отрицательными при всех действительных значениях х, если

$\displaystyle \tt \left \{ {{a$

В нашем случае для квадратной функции

y = a·x²- 4·x + a + 3

должна выполнятся условия:

$\displaystyle \tt \left \{ {{a$

Решаем последнюю систему неравенств$\displaystyle \tt \left \{ {{a$⇔ a ∈ (-∞; -4).

Answer 2

Щоб з'ясувати, при яких значеннях параметра "a" нерівність $ax^2 - 4x + a + 3 < 0$ виконується для всіх дійсних значень $x$, ми можемо використовувати критерій Дана.

Критерій Дана стверджує, що квадратична функція $ax^2 + bx + c$ буде має весь діапазон дійсних значень $x$, для якого $ax^2 + bx + c < 0$, якщо і тільки якщо дискримінант цієї квадратичної функції $D = b^2 - 4ac$ менше нуля, тобто $D < 0$.

У вашому випадку маємо квадратичну функцію $ax^2 - 4x + a + 3$, тому $a = a$, $b = -4$, і $c = a + 3$. Дискримінант цієї функції дорівнює:

$D = (-4)^2 - 4a(a + 3) = 16 - 4a^2 - 12a$

Тепер ми можемо встановити умову, при якій дискримінант $D < 0$, щоб нерівність була виконана для всіх $x$:

$16 - 4a^2 - 12a < 0$

Спростимо цю нерівність:

$4a^2 + 12a - 16 > 0$

$a^2 + 3a - 4 > 0$

Тепер розв'яжемо цю квадратичну нерівність за допомогою факторизації:

$(a + 4)(a - 1) > 0$

Тепер ми маємо дві точки, де ця нерівність може змінити знак: $a = -4$ і $a = 1$. Ми можемо перевірити значення $a$ у трьох інтервалах:

1. $a < -4$
2. $-4 < a < 1$
3. $a > 1$

У кожному з цих інтервалів перевіримо знак виразу $(a + 4)(a - 1)$:

1. Якщо $a < -4$, то обидва множники нерівності від'ємні, тобто $(a + 4)(a - 1) < 0$ для $a < -4$.

2. Якщо $-4 < a < 1$, то перший множник від'ємний ($a + 4 < 0$), а другий множник додатний ($a - 1 > 0$), отже, $(a + 4)(a - 1) < 0$ для $-4 < a < 1$.

3. Якщо $a > 1$, то обидва множники нерівності додатні, тобто $(a + 4)(a - 1) > 0$ для $a > 1$.

Отже, нерівність $ax^2 - 4x + a + 3 < 0$ виконується для всіх дійсних значень $x$ при $a < -4$ або $-4 < a < 1$.