Question

Не вычисляя корней уравнения х^2– 3х – 2 = 0, найдите: x1^3+x2^3

Answer 1

$x^{2} - 3x - 2 = 0$

Воспользуемся теоремой Виета: для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту, взятого с противоположным знаком, а произведение корней равно третьему (свободному) коэффициенту данного уравнения.

Для заданного уравнения имеем:

$\left\{\begin{array}{ccc}x_{1} + x_{2} = 3,\\x_{1} \cdot x_{2} = -2\\\end{array}\right$

Найдем значение выражения $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$, используя формулу суммы кубов двух выражений: $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}).$

Имеем:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})(x_{1}^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) = (x_{1} + x_{2})(x_{1}^{2} +2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}) =\\\\= (x_{1} + x_{2})((x_{1} + x_{2})^{2} - 3x_{1}x_{2})$

Заменим $x_{1} + x_{2}$ на $3$ и $x_{1}x_{2}$ на $-2:$

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 3 \cdot(3^{2} - 3 \cdot (-2))= 3 \cdot 15 = 45$

Ответ: 45.

Answer 2

Для нахождения суммы кубов корней уравнения \(x^2 - 3x - 2 = 0\), нам понадобится использовать формулы Виета.

Уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\). Формулы Виета гласят:

1. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 2. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

В данном уравнении \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = -2\). Подставим эти значения в формулы Виета:

1. \(x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3\) 2. \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{1} = -2\)

Теперь мы можем найти сумму кубов корней \(x_1\) и \(x_2\), используя следующее тождество:

\((x_1^3 + x_2^3) = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)\)

Мы уже знаем, что \(x_1 + x_2 = 3\). Теперь нам нужно найти \(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2\).

\((x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2\)

Мы уже знаем, что \(x_1 + x_2 = 3\) и \(x_1 \cdot x_2 = -2\), поэтому:

\((x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (3)^2 - 3 \cdot (-2) = 9 + 6 = 15\)

Теперь мы можем найти \(x_1^3 + x_2^3\), используя полученные значения:

\((x_1^3 + x_2^3) = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = 3 \cdot 15 = 45\)

Итак, сумма кубов корней \(x_1\) и \(x_2\) равна 45.