Question

Найдите наибольшее значение функции f(x)=log6(x-2) на отрезке (3,8)

Answer 1

F'(x)=1/((x-2)ln6)≠0 
⇒ наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка
y(3)=log6(3-2)=log6 (1)=0
y(8)=log6(8-2)=log6(6)=1
0 - наименьшее значение
1-наибольшее

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции \( f(x) = \log_6(x-2) \) на отрезке \( (3, 8) \), мы должны проанализировать функцию внутри данного интервала.

Прежде всего, следует отметить, что логарифмическая функция \( \log_6(x-2) \) имеет ограничения. Она определена только для положительных аргументов логарифма. Поэтому \( x - 2 > 0 \), и \( x > 2 \), что означает, что исследуемый отрезок \( (3, 8) \) удовлетворяет этому условию.

Теперь найдем производную функции \( f(x) \), чтобы определить точки экстремума:

\[ f(x) = \log_6(x-2) \]

\[ f'(x) = \frac{1}{(x-2) \ln(6)} \]

Эта производная указывает, что функция \( f(x) \) имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 2 \). Однако, на интервале \( (3, 8) \) функция \( f(x) \) возрастает.

Теперь найдем значения функции на границах интервала \( (3, 8) \):

При \( x = 3 \):

\[ f(3) = \log_6(3-2) = \log_6(1) = 0 \]

При \( x = 8 \):

\[ f(8) = \log_6(8-2) = \log_6(6) = 1 \]

Таким образом, на отрезке \( (3, 8) \) наибольшее значение функции \( f(x) = \log_6(x-2) \) равно 1 и достигается при \( x = 8 \).