Question

Привести пример последовательности {xn} и {yn} таких, что lim(n→∞) ⁡xn=lim(n→∞) ⁡yn =0 и: lim(n→∞)⁡ xn/yn=1

Answer 1

$x_n = \frac{1}{n^2 + n}, \; y_n = \frac{1}{n^2 + 2n}$

Так как знаменатель растёт быстрее числителя, то пределы равны 0

$\lim\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n^2+n}=\lim\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n^2+2n}=0$

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 + \frac 2n}{1 + \frac 1n} = 1$

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос.

Пример последовательности {xn} и {yn} таких, что lim (n→∞) xn = lim (n→∞) yn = 0 и lim (n→∞) xn/yn = 1:

xn = 1/n и yn = 1/(n+1)

Докажем, что эти последовательности удовлетворяют условиям.

Первое условие: lim (n→∞) xn = lim (n→∞) yn = 0

Это означает, что при n стремящемся к бесконечности, xn и yn стремятся к нулю. Это верно, так как при увеличении n, знаменатели 1/n и 1/(n+1) становятся все больше, а значит, дроби становятся все меньше и ближе к нулю.

Второе условие: lim (n→∞) xn/yn = 1

Это означает, что при n стремящемся к бесконечности, отношение xn к yn стремится к единице. Это верно, так как при увеличении n, разность между знаменателями 1/n и 1/(n+1) становится все меньше, а значит, дроби становятся все ближе друг к другу и к единице.

Надеюсь, это поможет вам понять задачу. Если вы хотите узнать больше о числовых последовательностях, вы можете посмотреть эти ссылки:

- [Числовая последовательность: формула, свойства, задание рекуррентной ...](https://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/chislovaya-posledovatelnost/) - [Числовая последовательность — Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C)

Спасибо за обращение к Bing!