Question

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 10. Реши, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем. Ответ: Разность прогрессии:

Answer 1

Смотрим прикреплённый файл

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d. Тогда второй член будет a + d, третий - a + 2d, четвёртый - a + 3d и пятый - a + 4d.

Сумма утроенного второго и четвёртого членов прогрессии равна 10:

3(a + d) + (a + 3d) = 10

Упростим уравнение:

3a + 3d + a + 3d = 10 4a + 6d = 10

Далее, рассмотрим произведение третьего и пятого членов прогрессии:

(a + 2d)(a + 4d) = a^2 + 6ad + 8d^2

Теперь у нас есть два уравнения:

1) 4a + 6d = 10 2) P = a^2 + 6ad + 8d^2

Чтобы найти минимальное значение произведения P, нам нужно выразить a через d из первого уравнения и подставить во второе. Найдём a:

4a + 6d = 10 a = 2.5 - 1.5d

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

P = (2.5 - 1.5d)^2 + 6(2.5 - 1.5d)d + 8d^2

P = 6.25 - 7.5d + 2.25d^2 + 15d - 9d^2 + 8d^2 P = -0.75d^2 + 7.5d + 6.25

Теперь у нас есть квадратичная функция относительно d. Чтобы найти её минимум, найдем вершину параболы, используя формулу x = -b / (2a):

d = -7.5 / (2 * (-0.75)) = 5

Теперь найдем значение P при d = 5:

P = -0.75(5)^2 + 7.5(5) + 6.25 P = -18.75 + 37.5 + 6.25 P = 25

Итак, при разности прогрессии d = 5, произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим и равно 25.