Question

В ответ запишите наибольший отрицательный корень уравнения в градусах, умноженный на 11. sin4x+sin7x=cos4x+cos7x​

Answer 1

$\sin 4x + \sin 7x = \cos 4x+\cos 7x\\2\sin5.5x\cos1.5 x = 2\cos5.5x\cos1.5x$

Либо cos 1.5 x = 0, либо

$\sin 5.5x = \cos 5.5x \\\tan 5.5x = 1$

Первая ветка решений дает

$x = 2(\pi/2+\pi n)/3$, наибольший отрицательный корень -pi/3

Вторая ветка решений дает

$x = (\pi/4+\pi n)/5.5$, наибольший отрицательный корень -3pi/22

Больше вот этот последний. Умноженный на 11 дает -1.5pi

Answer 2

Дано уравнение sin4x sin7x = cos4x cos7x. Приведем данное уравнение к более удобному виду, используя тригонометрические тождества. 1) sin(a)sin(b) = 0.5[cos(a-b)-cos(a+b)] 2) cos(a)cos(b) = 0.5[cos(a-b)+cos(a+b)] Подставим значения a = 4x и b = 7x: 0.5[cos(4x-7x)-cos(4x+7x)] = 0.5[cos(-3x)-cos(11x)] Теперь уравнение становится: 0.5[cos(-3x)-cos(11x)] = cos(4x)+cos(7x) Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов: [cos(-3x)-cos(11x)] = 2[cos(4x)+cos(7x)] Приведем подобные слагаемые: cos(-3x) - cos(11x) = 2cos(4x) + 2cos(7x) cos(-3x) - 2cos(4x) - cos(11x) - 2cos(7x) = 0 Теперь заметим, что на левой стороне уравнения у нас есть два синуса и два косинуса с одинаковыми аргументами. Применим следующие тождества: 1) cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) 2) cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) Применим эти тождества к левой стороне уравнения: cos(-3x) - 2cos(4x) - cos(11x) - 2cos(7x) = -2sin(-7x)sin(4x) - 2sin(4x)sin(7x) = -2sin(7x)sin(4x) + 2sin(4x)sin(7x) = 0 Теперь видим, что два слагаемых взаимоуничтожаются, и уравнение упрощается: 0 = 0 Таким образом, исходное уравнение верно при любом значении x. Вывод: уравнение sin4x sin7x = cos4x cos7x не имеет решений, следовательно, наибольший отрицательный корень, умноженный на 11, равен 0.