Question

Срочно! ОСТАЛОСЬ 25 МИНУТ! Решите уравнение 5sinx+16cosx=√281. Скольки равен х? (Не сокращать) x=...arcsin .../√...+π/...+...πn,n∈Z. Вставте числа вместо точек.

Answer 1

.......................

Answer 2

Дано уравнение: 5sinx + 16cosx = √281. Наша задача состоит в том, чтобы найти значение x. #### Подготовка к решению Перед тем, как приступить к решению уравнения, мы должны убедиться, что коэффициенты sinx и cosx являются частями одного и того же угла. Для этого воспользуемся тригонометрической формулой: sin(x + y) = sinx*cosy + cosx*siny Сравнивая это с нашим уравнением, мы видим, что sinx и cosx являются частями одного и того же угла, так как 5sinx соответствует sin(x + y), а 16cosx соответствует cos(x + y). Поэтому мы можем воспользоваться следующими соотношениями: sinx = sin(x + y) cosx = cos(x + y) #### Решение уравнения Подставим эти соотношения в исходное уравнение: 5sin(x + y) + 16cos(x + y) = √281 Теперь нам нужно найти значение угла (x + y), для которого выполняется это уравнение. Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Используя это, мы можем преобразовать исходное уравнение следующим образом: (5sin(x + y))^2 + (16cos(x + y))^2 = (√281)^2 25sin^2(x + y) + 256cos^2(x + y) = 281 Подставим известные соотношения sinx = sin(x + y) и cosx = cos(x + y): 25sin^2(x) + 256cos^2(x) = 281 Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sin(x) и cos(x). Решим его: 25(1 - cos^2(x)) + 256cos^2(x) = 281 25 - 25cos^2(x) + 256cos^2(x) = 281 231cos^2(x) - 25cos^2(x) = 256 206cos^2(x) = 256 cos^2(x) = 256 / 206 cos(x) = ± √(256 / 206) cos(x) = ± (√256) / (√206) cos(x) = ± 16 / (√206) Теперь найдем значение sin(x) с использованием соотношения sin^2(x) + cos^2(x) = 1: sin^2(x) = 1 - cos^2(x) sin^2(x) = 1 - (16 / (√206))^2 sin^2(x) = 1 - (256 / 206) sin^2(x) = 206 / 206 - 256 / 206 sin^2(x) = (206 - 256) / 206 sin^2(x) = -50 / 206 sin(x) = ± √(-50 / 206) sin(x) = ± (√50) / (√206) sin(x) = ± 5√2 / (√206) Теперь мы знаем значения sin(x) и cos(x). Чтобы найти x, мы можем использовать обратные тригонометрические функции. В данном случае, мы можем использовать обратные функции arcsin и arccos. x = arcsin(sin(x)) = arcsin(± 5√2 / (√206)) x = arccos(cos(x)) = arccos(± 16 / (√206)) Таким образом, значение x равно: x = arcsin(± 5√2 / (√206)) / (√(281 - 25(5√2 / (√206))^2)) или x = arccos(± 16 / (√206)) / (√(281 - 25(16 / (√206))^2)) где ± обозначает два возможных значения x, так как sin(x) и cos(x) могут быть положительными или отрицательными. Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам решить вашу задачу. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!