Question

Срочно! Решите уравнение 5sinx+16cosx=√281. Скольки равен х? (Не сокращать) x=...arcsin .../√...+π/...+...πn,n∈Z. Вставте числа вместо точек.

Answer 1

.........................

Answer 2

Для решения этого уравнения, мы сначала должны нормализовать уравнение, приведя его к виду $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \phi)$, где $\phi$ - это фазовый угол.

В данном случае, у нас дано уравнение $5\sin x + 16\cos x = \sqrt{281}$. Мы видим, что $a = 5$, $b = 16$, $a^2 + b^2 = 281$, и $\phi$ - это фазовый угол, который можно найти из соотношения $\tan \phi = \frac{b}{a}$.

Решим это:

$\tan \phi = \frac{16}{5}$ $\phi = \arctan\left(\frac{16}{5}\right)$

Теперь мы можем переписать уравнение как:

$5\sin x + 16\cos x = \sqrt{281} \sin(x + \arctan\left(\frac{16}{5}\right))$

Из данного уравнения видно, что

$a = \sqrt{281}, \phi = \arctan\left(\frac{16}{5}\right)$

Следовательно, $x$ можно выразить следующим образом:

$x = \arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right) + \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Вставляя числовые значения:

$x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{281}}{\sqrt{281}}\right) + \arctan\left(\frac{16}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \arcsin(1) + \arctan\left(\frac{16}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{16}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Таким образом, $x$ равен $\frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{16}{5}\right) + \pi n$, где $n$ - любое целое число.