Question

Один из катета на 3 см меньше гипотенузы а другой на 6 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника (решить задачу с помощью квадратного уравнения )

Answer 1

дано

a=c-3

b=c-6

стороны треугольника: a, b, c

c - гипотенуза

a,b - стороны

по теореме Пифагора:

$a^2+b^2=c^2$

$(c-3)^2+(c-6)^2=c^2\\c^2-6c+9+c^2-12c+36=c^2\\c^2-18c+45=0\\(c-3)(c-15)=0\\c_1=15 \ \ \ \ c_2=3$

второй корень не подходит,

ОТВЕТ: гипотенуза c=15

Answer 2

Давайте обозначим катеты через \(x\) и \(y\), а гипотенузу через \(h\). По условию задачи, у нас есть два уравнения: 1. \(h = x + 3\) (один из катетов на 3 см меньше гипотенузы). 2. \(h = y + 6\) (другой катет на 6 см меньше гипотенузы). Теперь мы можем составить уравнение для нахождения гипотенузы с помощью метода квадратного уравнения. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: \[h^2 = x^2 + y^2.\] Теперь заменим \(h\) в уравнении теоремы Пифагора, используя уравнения, полученные из условия: \[(x+3)^2 = x^2 + y^2\] \[(y+6)^2 = x^2 + y^2\] Раскроем скобки: \[x^2 + 6x + 9 = x^2 + y^2\] \[y^2 + 12y + 36 = x^2 + y^2\] Упростим уравнения: \[6x + 9 = y^2\] \[12y + 36 = x^2\] Теперь мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом выражения одной переменной через другую из одного уравнения и подстановки в другое. Давайте решим систему: Из первого уравнения \(6x + 9 = y^2\) получаем: \[y^2 = 6x + 9\] Подставляем \(y^2\) во второе уравнение: \[12 \sqrt{6x + 9} + 36 = x^2\] Теперь полученное квадратное уравнение можно решить с помощью стандартных методов, например, методом подстановки или методом дискриминанта. Сначала приведем его к стандартному виду, а затем найдем корни: \[x^2 - 12 \sqrt{6x + 9} - 36 = 0\] Решив это квадратное уравнение, мы найдем значение \(x\). После этого мы сможем вычислить значение \(y\) с использованием \(y^2 = 6x + 9\), а затем найти значение \(h\) с использованием уравнений \(h = x + 3\) или \(h = y + 6\).