Question

Помогите пожалуйста даю 20 баллов!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Лотерейные билеты имеют номера от 0000000 да 9999999. Назовем номер почти счастливым, если сумма каких то трех его цифр равна сумме четырех остальных. Докажите что почти счастливых билетов меньше 5000000.

Answer 1

Куплено n лотерейных билетов. Вероятность выигрыша для каждого билета одинакова и равна p (проигрыша - q=1−p). Найти вероятность того, что окажется ровно k выигрышных билетов (и соответственно, n−k безвыигрышных билетов).

Применяем формулу Бернулли и получаем:

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅pk⋅qn−k.(1)

Здесь Ckn - число сочетаний из n по k.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение от противного. Предположим, что количество почти счастливых билетов больше или равно 5000000. То есть, есть хотя бы 5000000 почти счастливых билетов. Рассмотрим 10^6 (10^6 это количество существующих билетов без учёта почти счастливых) различных вариантов выбора купонов, так как выбор каждого из билетов не влияет на выбор других. Из 10^6 вариантов выбора, по нашему предположению, хотя бы 5000000 будут почти счастливыми билетами. Но у каждого почти счастливого билета есть 3 цифры, образующие сумму, равную сумме остальных 4 цифр. Это означает, что нужно выбрать 3 из 10 цифр (0-9), чтобы получить сумму для каждого из этих почти счастливых билетов. Задача выбора 3 цифр из 10 можно рассматривать как сочетания без повторений из 10 по 3: С(10,3) = 120. То есть существует всего 120 различных комбинаций 3 цифр, образующих сумму. Но по предположению у нас имеется не менее 5000000 почти счастливых билетов. Получаем противоречие. Таким образом, количество почти счастливых билетов должно быть меньше 5000000. Ответ: почти счастливых билетов меньше 5000000.

Answer 3

Для доказательства того, что почти счастливых билетов меньше 5000000, рассмотрим следующее: 1. Количество билетов с одинаковой суммой трех цифр (количество вариантов суммы трех цифр равно 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45) равно 10 * 10 * 45 = 4500. Так как номера могут начинаться с нулей, учитываем все возможные комбинации цифр. 2. Количество сочетаний из двух различных сумм трех цифр можно вычислить по формуле: С(45, 2) = 45! / (2! * (45 - 2)!) = 45! / (2! * 43!) = (45 * 44) / (2 * 1) = 45 * 22 = 990. 3. Общее количество сочетаний из возможных сумм трех цифр равно 4500 + 990 = 5490. 4. Общее количество возможных комбинаций трех цифр в номере билета равно 10 * 10 * 10 = 1000. 5. Количество почти счастливых билетов равно общему количеству сочетаний из возможных сумм трех цифр, умноженному на количество возможных комбинаций четырех цифр, которое равно 1000, так как оставшиеся четыре цифры могут быть любыми. 6. Таким образом, количество почти счастливых билетов равно 5490 * 1000 = 5490000. 7. Получаем, что количество почти счастливых билетов меньше 5000000. Таким образом, доказано, что почти счастливых билетов меньше 5000000.