Question

№1. Одна сторона прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а вторая сторона больше, чем сторона квадрата, на 4 см. Найдите сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 40 см2. №2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Answer 1

Ответ:

№1. 6 см

№2. 12 см и 16 см

Объяснение:

№1. Решение.  

Пусть сторона квадрата равна х см (x>0). Тогда стороны прямоугольника будут  равны a=(х-2) см и b=(х+4) см. Так как площадь  S прямоугольника определяется через стороны по формуле: S = a · b, то по условию S = 40 см². Тогда

(х-2)·(х+4) = 40  ⇔  х²+2·x-8 = 40  ⇔  х²+2·x-48 = 0 ,

D=2²-4·1·(-48)=4+192=196=14²

x₁=(-2-14)/(2·1)= -16/2 = -8 < 0 - не подходит,

x₂=(-2+14)/(2·1)= 12/2 = 6 > 0.

Значит, сторона квадрата  6 см.

№2. Решение.

Пусть  один из катетов x см, тогда другой (x - 4) см. Так как треугольник прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора (c²=a²+b², где c - гипотенуза, a и b - катеты):

x² + (x - 4)² = 400  ⇔ x² + x² - 8·x + 16 = 400  ⇔ 2·x² - 8·x - 384 = 0  ⇔

⇔ x² - 4·x - 192 = 0 ,

D = (-4)²-4·1·192 = 16+768 = 784 = 28²

x₁=(4-28)/(2·1)= -24/2 = -12 < 0 - не подходит,

x₂=(4+28)/(2·1)= 32/2 = 16 > 0, 16-4=12.

Значит, катеты: 16 см и 12 см.

Answer 2

№1. Пусть сторона квадрата равна x см. Согласно условию задачи: 1. Одна сторона прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата. То есть, одна сторона прямоугольника равна (x - 2) см. 2. Вторая сторона больше, чем сторона квадрата, на 4 см. То есть, вторая сторона прямоугольника равна (x + 4) см. Теперь у нас есть размеры сторон прямоугольника. Площадь прямоугольника равна 40 см². Мы можем записать уравнение для площади прямоугольника: Площадь = Длина × Ширина 40 см² = (x - 2) см × (x + 4) см Теперь решим это уравнение: 40 см² = (x - 2) см × (x + 4) см Раскроем скобки, применяя формулу разности квадратов (a² - b² = (a + b)(a - b)): 40 см² = (x² + 4x - 2x - 8) см² Упростим уравнение: 40 см² = (x² + 2x - 8) см² Теперь у нас есть квадратное уравнение. Перенесем все члены на одну сторону и приравняем к нулю: x² + 2x - 8 - 40 = 0 x² + 2x - 48 = 0 Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта: Дискриминант (D) = b² - 4ac где a = 1, b = 2, и c = -48. D = 2² - 4 * 1 * (-48) D = 4 + 192 D = 196 Теперь найдем два значения x, используя квадратное уравнение: x₁ = (-b + √D) / (2a) x₁ = (-2 + √196) / (2 * 1) x₁ = (-2 + 14) / 2 x₁ = 12 / 2 x₁ = 6 см x₂ = (-b - √D) / (2a) x₂ = (-2 - √196) / (2 * 1) x₂ = (-2 - 14) / 2 x₂ = -16 / 2 x₂ = -8 см (но так как сторона не может быть отрицательной, это решение не подходит) Итак, сторона квадрата равна 6 см. №2. Пусть один катет прямоугольного треугольника равен x см, а другой катет равен (x - 4) см. Гипотенуза равна 20 см. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения катетов: гипотенуза² = катет₁² + катет₂² 20² = x² + (x - 4)² 400 = x² + (x² - 8x + 16) Теперь объединим квадраты и упростим уравнение: 400 = 2x² - 8x + 16 Перенесем все члены на одну сторону: 2x² - 8x + 16 - 400 = 0 2x² - 8x - 384 = 0 x² - 4x - 192 = 0 Теперь решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта: D = b² - 4ac где a = 1, b = -4, и c = -192. D = (-4)² - 4 * 1 * (-192) D = 16 + 768 D = 784 Теперь найдем два значения x, используя квадратное уравнение: x₁ = (-b + √D) / (2a) x₁ = (4 + √784) / (2 * 1) x₁ = (4 + 28) / 2 x₁ = 32 / 2 x₁ = 16 см x₂ = (-b - √D) / (2a) x₂ = (4 - √784) / (2 * 1) x₂ = (4 - 28) / 2 x₂ = -24 / 2 x₂ = -12 см (но так как катет не может быть отрицательным, это решение не подходит) Итак, один катет равен 16 см, а другой - 16 - 4 = 12 см.