Question

Знайти точки максимуму функції y=f(x), якщо f'(x)=x(x-3)(x+5)

Answer 1

Ответ:

x = 0 - точка максимума функции

Объяснение:

Перевод: Найти точки максимума функции y = f(x), если

f'(x) = x·(x−3)·(x+5).

Информация: 1) В точках экстремумов (то есть максимумов и минимумов) производная равна нулю.

2) Функция принимает максимум в критической точке, если производная меняет знак с плюс на минус, функция принимает минимум в критической точке, если производная меняет знак с минуса на плюс.

Решение. По изложенной выше информации максимумы надо искать среди критических точек, то есть среди нулей производной:

f'(x) = 0 ⇔ x·(x−3)·(x+5) = 0 ⇒ x₁ = −5, x₂ = 0, x₃ = 3.

x₁ = −5: f'(−6) = (−6)·(−6−3)·(−6+5) = (−6)·(−9)·(−1) < 0,

            f'(−4) = (−4)·(−4−3)·(−4+5) = (−4)·(−7)·1 > 0,  

до −5 производная отрицательна, после −5 производная положительна и поэтому −5 - точка минимума.

x₂ = 0: f'(−1) = (−1)·(−1−3)·(−1+5) = (−1)·(−4)·4 > 0,

           f'(1) = 1·(1−3)·(1+5) = 1·(−3)·6 < 0,  

до 0 производная положительна, после 0 производная отрицательна и поэтому 0 - точка максимума.

x₃ = 3: f'(2) = 2·(2−3)·(2+5) = 2·(−1)·7 < 0,

          f'(4) = 4·(4−3)·(4+5) = 4·1·9 > 0,  

до 3 производная отрицательна, после 3 производная положительна и поэтому 3 - точка минимума.

#SPJ1

Answer 2

$f'(x) = x(x - 3)(x + 5) \\ x_{1} = 0 \: \: \: x_{2} = 3 \: \: \: x_{3} = - 5 \\ - - - - [ - 5] + + + + [0] - - - - [3] + + + + \\ x_{min} = - 5 \\ x_{max} = 0 \\ x_{min} = 3$

Ответ: х max = 0

Answer 3

Для того чтобы найти точки максимума функции y = f(x), нужно найти значения x, для которых производная функции равна нулю, а затем проверить, являются ли эти точки точками максимума или минимума. Дано, что f'(x) = x(x-3)(x+5)+. Чтобы найти точки, в которых f'(x) = 0, мы должны решить уравнение: x(x-3)(x+5)+ = 0. Для начала, упростим это уравнение: x^3 + 2x^2 - 15x + = 0. Мы видим, что x = 0 является одним из корней этого уравнения. Далее, мы можем разложить уравнение на множители: (x-0)(x^2 + 2x - 15) = 0. Теперь, решим уравнение x^2 + 2x - 15 = 0: (x + 5)(x - 3) = 0. Таким образом, у нас есть три корня уравнения f'(x) = 0: x = 0, x = -5 и x = 3. Чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума или минимума, мы должны проанализировать поведение функции в этих точках. Для этого возьмем вторую производную функции. f''(x) = 2x + 2. Подставим найденные значения x = 0, x = -5 и x = 3 в f''(x): f''(0) = 0 + 2 = 2. Таким образом, x = 0 является точкой минимума. f''(-5) = -10 + 2 = -8. Таким образом, x = -5 является точкой максимума. f''(3) = 6 + 2 = 8. Таким образом, x = 3 является точкой минимума. Итак, мы нашли три точки экстремума функции y = f(x): точку минимума в x = 0 и точки максимума в x = -5 и x = 3.