Question

Доказать что число a не является пределом последовательности xn,если: ​

Answer 1

$\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a \Leftrightarrow \left \{ \forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N : |x_n - a| < \varepsilon \right \}$

Чтобы последовательность не имела предела, мы должны выполнить следующее

$\{\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb N, \exists n > N: |x_n - a| \ge \varepsilon\}$

Так как $n \in \mathbb N$, то для $k\in\mathbb N$

$\begin{equation*} |x_n| = \begin{cases} 3, & n=2k -1, \\ {1\over 3}, & n = 2k \end{cases} \end{equation*}$

Теперь возьмем, к примеру, $\varepsilon = 1$. С этим $\varepsilon$ для любого $N$ мы можем найти бесконечно много $n$ таких, что $n > N \\text{and}\ |x_n -3| \ge 1$. Следовательно, последовательность не имеет предела

Определение предела основано на нахождении произвольного $\varepsilon > 0$, но сколь угодно малого, по существу "достигающего" нуля, таким образом, $x_n \to a$. Поскольку мы нашли $\varepsilon > 0$ такое, что последовательность не сходится ( $|x_n - a | \geq \epsilon$), то последовательность действительно не имеет предела

Answer 2

Чтобы доказать, что число a не является пределом последовательности xn, нужно показать, что найдется такое положительное число ε, для которого бесконечно много членов последовательности xn не попадают в интервал (a-ε, a+ε). Из определения предела последовательности xn следует, что для любого положительного числа ε существует натуральное число N, начиная с которого все члены последовательности xn попадают в интервал (a-ε, a+ε). Теперь рассмотрим случай, когда число a не является пределом последовательности xn. Это означает, что найдется такое положительное число ε, для которого ни одно натуральное число N не удовлетворяет условию: начиная с номера N, все члены последовательности xn попадают в интервал (a-ε, a+ε). Следовательно, бесконечно много членов последовательности xn не попадают в интервал (a-ε, a+ε). Это доказывает, что число a не является пределом последовательности xn.