Question

Как такое решается? Подробное решение с получением численного результата (калькулятор не рулит) пожалуйста покажите, нужно понимание процесса... графическое решение тоже не пойдёт. + объясните что такое "трансцендентное уравнение".

Answer 1

Прологарифмируем это уравнение и получим, что надо решить уравнение f(x)=0, где $f(x)=x\ln x-(x+3)\ln 4$
Делаем по методу Ньютона:
$f'(x)=1+\ln x-\ln 4$
Тогда $x-f(x)/f'(x)=x- \frac{x\ln x-(x+3)\ln 4}{1+\ln x-\ln 4}= \frac{x+\ln 64}{1+\ln(x/4)}.$
Т,е. получаем итерации $x_{n+1}= \frac{x_n+\ln 64}{1+\ln(x_n/4)}$.
Если взять начальное приближение $x_0=7,$ то
$x_1=7,1548923585413945453$
$x_2=7,1538166805454021839$
$x_3=7,1538166294096348271$
$x_4=7,1538166294096347117$
и т.д.  Следующие итерации уже дают те же самые знаки, что понятно, т.к. метод Ньютона имеет второй порядок сходимости, т.е. на каждой итерации число верных знаков после запятой удваивается.

Есть уравнения алгебраические а есть уравнения трансцендентные. Алгебраические - это уравнения, которые сводятся к виду P(x)=0, где P - многочлен. Т.е. это квадратное, кубическое, а также все уравнения с корнями. Трансцендентные - это все остальные уравнения. Т.е. те, в которых участвуют и другие функции типа sin, cos, ln и т.д.

Answer 2

Трансцендентное уравнение - это уравнение, содержащее трансцендентные функции, такие как тригонометрические, логарифмические или экспоненциальные функции. Решение трансцендентных уравнений может быть сложным и требует специальных методов.

Для решения трансцендентных уравнений существует несколько подходов, включая численные методы и аналитические методы. В численных методах используются приближенные вычисления, чтобы получить численное решение уравнения. Аналитические методы, с другой стороны, стремятся найти аналитическое выражение для решения уравнения.

Один из численных методов для решения трансцендентных уравнений - это метод итераций. Этот метод основан на идее последовательного приближения к решению уравнения. Он начинается с начального приближения и затем использует итерационную формулу для получения нового приближения, которое ближе к истинному решению. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность.

Аналитические методы для решения трансцендентных уравнений включают методы, такие как методы разложения в ряд, методы замены переменных и методы интегрирования. Эти методы требуют более продвинутых математических навыков и могут быть сложными для применения в общем случае.

Чтобы продемонстрировать процесс решения трансцендентного уравнения, давайте рассмотрим пример. Предположим, что у нас есть трансцендентное уравнение:

sin(x) + x = 2

Для решения этого уравнения численным методом итераций, мы можем начать с некоторого начального приближения, например, x = 1. Затем мы используем итерационную формулу:

x_new = 2 - sin(x_old)

Мы продолжаем повторять этот процесс, заменяя x_old на x_new, пока не достигнем желаемой точности или не найдем решение.

Вот пример кода на Python, который реализует этот численный метод для решения трансцендентного уравнения:

import math

def solve_transcendental_equation():
    x_old = 1
    epsilon = 0.0001  # желаемая точность
    max_iterations = 100  # максимальное количество итераций
    
    for i in range(max_iterations):
        x_new = 2 - math.sin(x_old)
        
        if abs(x_new - x_old) < epsilon:
            return x_new
        
        x_old = x_new
    
    return None  # если не удалось найти решение

solution = solve_transcendental_equation()
print("Решение уравнения: x =", solution)

Этот код будет итеративно приближаться к решению уравнения, пока не достигнет желаемой точности или не превысит максимальное количество итераций.

Надеюсь, это помогло вам понять процесс решения трансцендентных уравнений. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!