Question

1)16^-1×корень64^х=2^х; 2)4^х+1+4^х-2=260; 3)3^2х-4×3^х=45.

Answer 1

16=2^4ноа^-n=1/а^n;√64^х=64^0.5x;2^-4×2^6×0.5х=2^x;2^-4×2^3x=2^x;-4+3х=х;2х=4;х=2

Answer 2

1) Решим первое уравнение:
16^(-1) × √64^х = 2^х
Для начала заменим 16 на 2^4 и 64 на 2^6:
(2^4)^(-1) × √(2^6)^х = 2^х
2^(-4) × √2^(6х) = 2^х
Теперь применим свойство степени от произведения:
2^(-4) × 2^(3х) = 2^х
2^(-4 + 3х) = 2^х
Чтобы равенство было возможным, необходимо, чтобы степени обеих чисел были равны между собой:
-4 + 3х = х
-4 = -2х
2 = х

Ответ: х = 2

2) Решим второе уравнение:
4^х+1 + 4^х-2 = 260
Разложим каждое слагаемое на множители и приведём подобные:
4 × 4^х + 4^х ÷ 4^2 = 260
4^(х + 1) + 4^(х - 2) = 260
Разделим обе части уравнения на 4^2:
4^(х + 1 - 2) + 4^(х - 2 - 2) = 260 ÷ 4^2
4^х + 4^(х - 4) = 260 ÷ 16
4^х + 4^(х - 4) = 260 ÷ 16 = 16
Теперь заменим каждую степень 4 на 2^2:
(2^2)^х + (2^2)^(х - 4) = 16
2^(2х) + 2^(2(х - 4)) = 16
Применим свойство степени от суммы:
2^(2х) + 2^(2х - 8) = 16
2^(2х) + 2^(2х) ÷ 2^8 = 16
Поделим оба слагаемых на 2^8:
2^(2х) + 2^(2х - 8) ÷ 2^8 = 16 ÷ 2^8
2^(2х) + 2^(2х - 8) ÷ 256 = 16 ÷ 256 = 1/16
Теперь заменим 256 на 2^8:
2^(2х) + 2^(2х - 8) ÷ 2^8 = 1/16
2^(2х) + 2^(2х - 8) ÷ 2^8 = 2^(-4)
Применим свойство степени от разности:
2^(2х) + 2^(2х) ÷ 2^8 = 2^(-4)
Общий знаменатель во втором слагаемом:
2^(2х) + 2^(2х - 8 - 8) = 2^(-4)
2^(2х) + 2^(2х - 16) = 2^(-4)
Теперь заменим 2х на а:
2^a + 2^(a - 16) = 2^(-4)
Приведём оба слагаемых к общему знаменателю:
2^a + 2^(a - 16) ÷ 2^16 = 2^(-4) ÷ 2^16
2^a + 2^(a - 16) ÷ 65536 = 1 ÷ 65536
Поделим оба слагаемых на 65536:
2^a + 2^(a - 16) ÷ 65536 = 1 ÷ 65536
2^a + 2^(a - 16) ÷ 65536 = 1 ÷ 65536 = 1/65536
Теперь вернёмся к замене:
2х = a
2х + (2х - 16) ÷ 65536 = 1 ÷ 65536
Умножим обе части уравнения на 65536:
2х × 65536 + (2х - 16) = 1
Получим:
131072х + 2х - 16 = 1
131074х - 16 = 1
131074х = 17
х = 17 ÷ 131074

Ответ: х = 17 ÷ 131074

3) Решим третье уравнение:
3^(2х) - 4 × 3^х = 45
Заменим 3^(2х) на (3^х)^2:
(3^х)^2 - 4 × 3^х = 45
Обозначим 3^х за а:
а^2 - 4а = 45
Выражение преобразовано в квадратное уравнение.
Приведём его к виду, где на одной стороне будет 0:
а^2 - 4а - 45 = 0
Теперь воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-4)^2 - 4(1)(-45)
D = 16 + 180
D = 196

D > 0, значит, уравнение имеет два корня.
Теперь найдём значения корней, используя формулы квадратного уравнения:
а1,2 = (-b ± √D) / 2a

а1 = (-(-4) + √196) / (2 × 1)
а1 = (4 + 14) / 2
а1 = 18 / 2
а1 = 9

а2 = (-(-4) - √196) / (2 × 1)
а2 = (4 - 14) / 2
а2 = -10 / 2
а2 = -5

Таким образом, уравнение имеет два значения: а = 9 и а = -5.

Теперь заменим а на 3^х:
3^х = 9 и 3^х = -5

1) 3^х = 9
Возведём обе части уравнения в логарифмическую степень по основанию 3:
х = log₃(9)
х = 2

2) 3^х = -5
Но отрицательные числа не имеют действительных логарифмов, поэтому этот случай не имеет решений.

Ответ: х = 2