Question

Касательная к окружности удалена от концов диаметра на расстоянии 3 см и 15 см. Найдите площадь круга.

Answer 1

O - центр окружности, AB - диаметр, a - касательная, E - точка касания,
$AK\perp a, AK=15,$ $BL\perp a, BL=3,$
$AK\perp a, BL\perp a \Rightarrow AK||BL,$
ABLK - прямоугольная трапеция.
$OE\perp a$ - свойство радиуса, проведенного в точку касания.
$OE\perp a, AK\perp a, BL\perp a, AO=OB \Rightarrow OE||AK||BL, KE=EL,$
OE - средняя линия трапеции.
$OE=\frac{AK+BL}{2},$ - свойство средней линии трапеции.
$r=\frac{AK+BL}{2},$
$S=\pi r^2=\pi (\frac{AK+BL}{2})^2=\frac{\pi}{4}(AK+BL)^2,$
$S=\frac{\pi}{4}(3+15)^2=81\pi$

Answer 2

Для решения данной задачи используем свойство ортогональности касательной и радиуса окружности. Рассмотрим данную окружность и ее диаметр, состоящий из двух радиусов. Пусть касательная к окружности пересекает этот диаметр с обеих сторон в точках А и В. Из условия задачи известно, что расстояние между этими точками составляет 15 см. Пусть расстояние от каждой из этих точек до точки касания касательной с окружностью равно 3 см. Обозначим радиус окружности как r. Так как касательная к окружности ортогональна радиусу в точке касания, то можно построить треугольники AÐÌB и BÐÍC, где ÐÌ и ÐÍ - точки касания соответственно. В треугольнике AÐÌB ÐÌA = ÐÌB = 3 см, так как из условия задачи расстояние от точек А и В до точки касания равно 3 см. Поэтому треугольник AÐÌB - равнобедренный, и острый угол, составленный при основании, равен углу ÐÒAÐÎ, обозначим его через α. Также в треугольнике BÐÍC ÐÍB = ÐÍC = 3 см, поэтому этот треугольник также является равнобедренным, и острый угол, составленный при основании, равен углу ÐÍСÐÎ, обозначим его через β. Рассмотрим треугольник BCÐÍ. Сумма углов этого треугольника равна 180°: α + β + ÐÒСÐÎ = 180°. Так как треугольник равнобедренный, то ÐÒСÐÎ = α + β, поэтому α + β + α + β = 180°, что приводит к уравнению 2α + 2β = 180°, или α + β = 90°. Из этого следует, что ÐÒСÐÎ = α + β = 90°. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным. Теперь найдем длину диаметра окружности. Из прямоугольного треугольника ABC получим по теореме Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2 (2r)^2 = (3 см + 3 см)^2 + (15 см)^2 4r^2 = 6^2 + 15^2 4r^2 = 36 + 225 4r^2 = 261 r^2 = 261/4 r ≈ 8.06 см Таким образом, радиус окружности примерно равен 8.06 см. Теперь можем найти площадь окружности по формуле: S = π * r^2 S ≈ 3.14 * (8.06 см)^2 S ≈ 3.14 * 65.16 см^2 S ≈ 204.08 см^2 Ответ: площадь круга составляет примерно 204.08 см^2.