Question

Обчисліть полощу фігури, обмежену вказаними лініями у=х^3-х; у=0; х=-1; х=1 ( с рисунком надо )

Answer 1

Ответ:   S=0,5  .  

Вычислить площадь области можно с помощью определённого интеграла .

$\bf y=x^3-x\ \ ,\ \ y=0\ \ ,\ \ x=-1\ \ ,\ \ x=1$  

Точки пересечения :    

$\bf x^3-x=0\ \ ,\ \ x(x-1)(x+1)=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=0\ ,\ x_3=1$

Область симметрична относительно оси ОУ . Можно вычислить площадь левой половинки области, а затем удвоить результат .

$\bf \displaystyle S=\int\limit_{-1}^0\, (x^3-x)\, dx=\Big(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\Big)\Big|_{-1}^0=0-\Big(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\Big)=\frac{1}{4}=0,25$  

$\bf S_{oblasti}=2\cdot 0,25=0,5$  

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно найти площадь между кривой и осью x на интервале от x = -1 до x = 1. Сначала найдем точки пересечения кривой с осью x: Подставляем у = 0 в уравнение кривой: 0 = x^3 - x x(x^2 - 1) = 0 Таким образом, точки пересечения (x, y) будут: 1. x = 0, y = 0 (точка пересечения в начале координат) 2. x = 1, y = 0 (точка пересечения на оси x) Таким образом, фигура ограничена следующими линиями: y = 0, x = -1, x = 1. Теперь построим график функции y = x^3 - x и выделим область, ограниченную заданными линиями: | | / -------|-----/--- x = 1 | / | / -------|--- x = 0, y = 0 | \ | \ -------|-----\--- x = -1 | \ | Теперь вычислим площадь ограниченной фигуры. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью x на интервале от x = -1 до x = 1, можно вычислить с помощью интеграла: Площадь = ∫[a, b] (f(x) - 0) dx, где a и b - границы интервала. В данном случае, a = -1, b = 1, и функция f(x) = x^3 - x. Поэтому площадь фигуры будет равна: Площадь = ∫[-1, 1] (x^3 - x) dx Вычислим данный интеграл: ∫(x^3 - x) dx = (1/4)x^4 - (1/2)x^2 + C, где C - постоянная интегрирования Подставим границы интервала в полученную формулу: Площадь = [(1/4)(1)^4 - (1/2)(1)^2] - [(1/4)(-1)^4 - (1/2)(-1)^2] = (1/4 - 1/2) - (-1/4 - 1/2) = -1/4 - (-3/4) = -1/4 + 3/4 = 2/4 = 1/2 Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна 1/2.