Question

Найти коэффициенты уравнения х^2+рх+q=0 при условии, что разность корней уравнения равна 5, а разность их кубов равна 35

Answer 1

1)

{x1-x2 = 5

{x1³-x2³ = 35

{x1-x2 = 5

{(x1-x2)(x1²+x1•x2+x2²) = 35

{x1 = 5+x2

{x1²+x1•x2+x2² = 7

(5+x2)²+x2(5+x2)+x2²-7 = 0

25+10x2+x2²+5x2+x2²+x2²-7 = 0

3x2²+15x2+18 = 0

x2²+5x2+6 = 0

По Виету:

[x2 = -2

[x2 = -3

[x1 = 5+x2 = 3

[x1 = 5+x2 = 2

(3; -2), (2; -3)

2)По виету

{x1+x2 = -p =3-2 = 1

{x1•x2 = q = -6

x²-x-6 = 0

3)По Виету:

{-p = x1+x2 = 2-3 = -1

{x1•x2 = q = -6

x²+x-6 = 0

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать теорему Виета, которая связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями. Пусть x1 и x2 - корни уравнения x^2 + px + q = 0. Тогда по теореме Виета, выполняются следующие равенства:

x1 + x2 = -p x1 * x2 = q

Также нам дано, что разность корней уравнения равна 5, а разность их кубов равна 35. Это означает, что:

x1 - x2 = 5 x1^3 - x2^3 = 35

Из первого равенства мы можем выразить x2 через x1:

x2 = x1 - 5

Подставим это во второе равенство и получим:

x1^3 - (x1 - 5)^3 = 35 x1^3 - (x1^3 - 15x1^2 + 75x1 - 125) = 35 15x1^2 - 75x1 + 160 = 0

Это квадратное уравнение относительно x1, которое мы можем решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:

x1 = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = 15, b = -75, c = 160. Подставляя эти значения, получаем:

x1 = (-(-75) +- sqrt((-75)^2 - 4 * 15 * 160)) / (2 * 15) x1 = (75 +- sqrt(225 - 9600)) / 30 x1 = (75 +- sqrt(-9375)) / 30

Так как подкоренное выражение отрицательное, то это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение тоже не имеет действительных корней и коэффициенты p и q нельзя найти.

Ответ: коэффициенты p и q нельзя найти при данных условиях.

Answer 3

Для нахождения коэффициентов уравнения \(x^2 + px + q = 0\) при заданных условиях, давайте воспользуемся формулами Виета. Эти формулы позволяют найти связи между коэффициентами уравнения и его корнями. У нас есть два условия: 1. Разность корней равна 5: \(x_1 - x_2 = 5\). 2. Разность их кубов равна 35: \(x_1^3 - x_2^3 = 35\). Сначала используем формулу Виета для разности корней: \[x_1 - x_2 = 5\] Из формулы Виета мы знаем, что сумма корней равна \(-p\), поэтому можно записать: \[x_1 + x_2 = -p\] Теперь у нас есть система двух уравнений: \[x_1 - x_2 = 5\] \[x_1 + x_2 = -p\] Мы можем решить эту систему методом сложения уравнений, чтобы найти значения \(x_1\) и \(x_2\): \[x_1 = \frac{1}{2}(-p + 5)\] \[x_2 = \frac{1}{2}(-p - 5)\] Теперь давайте используем второе условие: \[x_1^3 - x_2^3 = 35\] Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) и упростим уравнение: \[\left(\frac{1}{2}(-p + 5)\right)^3 - \left(\frac{1}{2}(-p - 5)\right)^3 = 35\] Теперь упростим это уравнение: \[\frac{1}{8}(5 - p)^3 - \frac{1}{8}(5 + p)^3 = 35\] Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дробей: \[(5 - p)^3 - (5 + p)^3 = 280\] Используем разность кубов: \[(5 - p - 5 - p)((5 - p)^2 + (5 - p)(5 + p) + (5 + p)^2) = 280\] Упростим это уравнение: \[-4p(25 - p^2) = 280\] Теперь решим уравнение относительно \(p\): \[-4p(25 - p^2) = 280\] \[4p(p^2 - 25) = 280\] \[p(p^2 - 25) = 70\] \[p(p - 5)(p + 5) = 70\] Теперь нам нужно найти такое значение \(p\), которое удовлетворяет этому уравнению и, следовательно, находить значения \(x_1\) и \(x_2\).