Question

Вычислите предел (Без использования правила Лопиталля)

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to0}\frac{x-{\rm arctg}\, x}{2x^3}=\lim_{x \to0}\frac{x-\Big(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\Big)}{2x^3}=\frac{\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{6}$

Answer 2

Для вычисления предела без использования правила Лопиталя, нам необходимо применить другие алгебраические методы. Первым шагом является анализ выражения в пределе. Проверим, существуют ли значения в выражении, которые могут привести к неопределенности 0/0 или бесконечность/бесконечность. Затем мы можем применить алгебраические преобразования, чтобы упростить выражение, если это возможно. Если выражение содержит неопределенность, мы можем попробовать сократить или преобразовать его, чтобы получить новое выражение, в котором не будет неопределенности. Например, представим, что мы хотим вычислить предел (sin x) / x при x стремящемся к 0. Если мы попробуем вычислить предел прямо сейчас, мы получим неопределенность 0/0, так как sin x стремится к 0 при x стремящемся к 0. Но с помощью алгебраических преобразований, мы можем разделить числитель и знаменатель на x: (sin x) / x = (sin x) / (x / 1) = sin x * (1 / x) Теперь мы можем сократить x в знаменателе с x в числителе: sin x * (1 / x) = sin x * 1 = sin x Теперь, если мы вычислим предел этого нового выражения при x стремящемся к 0, мы получим значение 0. Таким образом, предел (sin x) / x при x стремящемся к 0 равен 0. В общем случае, чтобы вычислить предел без использования правила Лопиталя, необходимо анализировать выражение, применять алгебраические преобразования и простые математические тождества, чтобы упростить выражение и получить новое выражение без неопределенностей.