Question

Сумма первых n членов арифметической прогрессии Sn=n^2+2n найдите первый член​

Answer 1

Надо вместо n подставить 1

Answer 2

Сумма первых n членов арифметической прогрессии Sn=n^2+2n равна произведению n на среднее арифметическое первого и последнего членов прогрессии. Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить его через n и Sn. Для этого можно использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

a_n = a_1 + d(n - 1),

где a_n - последний член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии. Подставляя в эту формулу Sn/n вместо a_n, получаем:

Sn/n = a_1 + d(n - 1).

Раскрывая скобки и переносим все слагаемые с a_1 в одну часть уравнения, получаем:

a_1 = Sn/n - dn + d.

Теперь нужно найти d. Для этого можно использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = (a_1 + a_n) * n / 2.

Подставляя в эту формулу Sn/n вместо a_n и Sn вместо Sn, получаем:

Sn = (a_1 + Sn/n) * n / 2.

Умножая обе части уравнения на 2/n и переносим все слагаемые с a_1 в одну часть уравнения, получаем:

a_1 = Sn/n - Sn/2.

Теперь можно подставить это выражение для a_1 в предыдущее уравнение и получить:

Sn/n - Sn/2 = Sn/n - dn + d.

Упрощая уравнение, получаем:

d = Sn/2n.

Теперь можно подставить это выражение для d в уравнение для a_1 и получить:

a_1 = Sn/n - (Sn/2n)(n - 1).

Упрощая уравнение, получаем:

a_1 = Sn/2n + Sn/2n - Sn/2.

Вынося общий множитель Sn/2n, получаем:

a_1 = Sn/2n(1 + 1 - n).

Сокращая дробь, получаем окончательный ответ:

a_1 = Sn/4(2 - n).