Question

Найдите все решения уравнения cos x+√3×sin x=0, принадлежащие отрезку [-2π;π]

Answer 1

$ctg\ x =- \sqrt{3} \Rightarrow tg\ x =- \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow x= - \frac{ \pi }{6} + \pi k,\ k \in Z.$
Отберем корни из  [-2π;π]:
$-2 \pi \leq -\frac{ \pi }{6} + \pi k \leq \pi \\ -2 \leq -\frac{ 1 }{6} + k \leq 1\\ -12 \leq -1 + 6k \leq 6\\ -11 \leq 6k \leq 7\\ k=-1;0;1\ \Rightarrow x_1=-\frac{ 7\pi }{6};\ x_2=-\frac{ \pi }{6};\ x_3=\frac{ 5\pi }{6}.$

Ответ:  $-\frac{ \pi }{6}+ \pi k,\ k \in Z;\ -\frac{ 7\pi }{6};\ -\frac{ \pi }{6};\ \frac{ 5\pi }{6}.$

Answer 2

Дано уравнение cos(x) + √3sin(x) = 0.

Для решения данного уравнения можно воспользоваться различными методами. Один из них - это использование тригонометрических тождеств.

Перепишем данное уравнение:
cos(x) = -√3sin(x)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:
(√3sin(x))^2 + cos^2(x) = 1
3sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Далее преобразуем уравнение:
3sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
3sin^2(x) = sin^2(x)
2sin^2(x) = 1
sin^2(x) = 1/2
sin(x) = ± √(1/2)

Далее рассмотрим два случая:

1) sin(x) = √(1/2)
Решим это уравнение:
x = π/6, π/2, 7π/6, 3π/2

2) sin(x) = - √(1/2)
Решим это уравнение:
x = - π/6, - π/2, -7π/6, 5π/6

Таким образом, все решения уравнения cos(x) + √3sin(x) = 0, принадлежащие отрезку [-2π;π], это:
x = -7π/6, -π/2, -π/6, π/6, π/2