Question

Докажите , что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю :

Answer 1

1) ( a + x )^3 - a( a + x )^2 = ( a + x )^2*( a + x - a ) = x( a + x )^2 =
= x( a^2 + 2ax + x^2 ) = xa^2 + 2ax^2 + x^3 
2) - x^2( 2a + x ) = - 2ax^2 - x^3 
3) xa^2 + 2ax^2 + x^3 - 2ax^2 - x^3 = xa^2 
4) xa^2 - a^2x = 0

Answer 2

Для доказательства того, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю, необходимо рассмотреть само выражение и показать, что оно действительно обращается в ноль для любых значений переменных. Предположим, у нас есть некоторое выражение A, зависящее от набора переменных. Мы хотим показать, что A всегда равно нулю. Существуют различные способы доказательства таких утверждений, и выбор конкретного метода зависит от самого выражения A. Однако, основными методами являются математическая индукция, доказательство от противного, и прямое доказательство. Математическая индукция – это метод доказательства, в котором мы показываем, что утверждение верно для базового случая (чаще всего для случая, когда все переменные равны нулю) и предполагаем, что оно верно для некоторого значения (например, n), а затем показываем, что оно также верно для следующего значения (n+1). Таким образом, мы доказываем, что A выполняется для всех натуральных чисел. Доказательство от противного – это метод, при котором мы предполагаем, что утверждение неверно, и затем показываем, что отсюда следует противоречие. Если предположение о неверности ложно, то это означает, что утверждение верно. Прямое доказательство – это метод, при котором мы применяем логические шаги, чтобы показать, что утверждение верно. Обычно для этого используются математические свойства и операции. Пример: Давайте рассмотрим пример, чтобы продемонстрировать применение этих методов. Рассмотрим выражение A = x^2 - x - 2. 1. Прямое доказательство: Мы можем применить факторизацию для выражения A: A = (x - 2)(x + 1). Теперь мы видим, что A равно нулю, когда x = 2 или x = -1. Таким образом, при любом значении переменной x, выражение A будет равно нулю. 2. Доказательство от противного: Предположим, что существует некоторое значение переменной x, для которого выражение A не равно нулю. Пусть x = 1. Тогда A = 1^2 - 1 - 2 = -2, что не равно нулю. Противоречие возникает из предположения о неверности, поэтому A всегда должно быть равно нулю. 3. Математическая индукция: Базовый случай: x = 0. Тогда A = 0^2 - 0 - 2 = -2, что не равно нулю. Предположение: Пусть A = 0 для некоторого значения x = n. Шаг индукции: Мы хотим показать, что если A = 0 при x = n, то A = 0 при x = n + 1. A = (n + 1)^2 - (n + 1) - 2 = n^2 + 2n + 1 - n - 1 - 2 = n^2 + n - n = n^2 Таким образом, мы видим, что A всегда равно нулю для любого целого значения переменной x. В этом примере мы использовали прямое доказательство для показа, что выражение A равно нулю для любого значения переменной x.