Question

F(x)=корень -x^2+3x+4/x .Найти область определения

Answer 1

$f(x)=\sqrt{\frac{-x^2+3x+4}{x}}\\\\OOF:\; \; \frac{-x^2+3x+4}{x}\geq 0\; \; ,\; \; \; \frac{-(x+1)(x-4)}{x}\geq 0\; \; ,\; \; \frac{(x+1)(x-4)}{x}\leq 0\; ,\\\\znaki:\; \; ---[-1\; ]+++(0)---[\; 4\; ]+++\\\\x\in D(y)=(-\infty ,-1\, ]\cup (0,4\; ]$

$P.S.\; \; \; \; f(x)=\frac{\sqrt{-x^2+3x+4}}{x}\\\\OOF:\; \; \left \{ {{-x^2+3x+4\geq 0} \atop {x\ne 0\qquad \quad }} \right. \; \; \left \{ {{-(x+1)(x-4)\geq 0} \atop {x\ne 0\qquad \quad }} \right.\; \; \left \{ {{(x+1)(x-4)\leq 0} \atop {x\ne 0\qquad \quad }} \right.\; \; \left \{ {{x\in [-1\, ;\, 4\; ]} \atop {x\ne 0\qquad }} \right. \\\\x\in D(y)=[-1\, ;\, 0)\cup (0\, ;\, 4\; ]$

Answer 2

Область определения функции F(x) определяет набор всех значений переменной x, при которых функция определена и имеет смысл. Чтобы найти область определения функции F(x), нужно исследовать наличие ограничений на x, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа.

В данном случае, функция F(x) задана как корень дроби -x^2+3x+4/x. Для того чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

-x^2+3x+4 ≥ 0

Можно решить данное квадратное неравенство и найти его корни. Для этого сначала нужно переписать его в виде:

x^2 -3x - 4 ≤ 0

Затем решаем его. Можно использовать график функции или методы факторизации или дискриминанта. Избегая деталей, факторизуем:

(x-4)(x+1) ≤ 0

Корни этого уравнения равны x = 4 и x = -1.

Графически решение неравенства можно представить на числовой прямой. На области от -1 до 4, левая часть неравенства меньше нуля, а снаружи этого интервала - больше нуля. Значит, решением данного неравенства будет интервал (-∞, -1] ∪ [4, +∞).

Таким образом, область определения функции F(x) равна (-∞, -1] ∪ [4, +∞).