Question

Исследовать график x^2/(x-1)

Answer 1

Вот на фото ответ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для того чтобы исследовать график функции f(x) = x^2/(x-1), мы должны рассмотреть ее особые точки, асимптоты, интервалы убывания и возрастания, а также поведение функции при стремлении x к бесконечности.

1. Особые точки:
Функция имеет особую точку в x = 1, так как знаменатель становится равным нулю. Подставив x = 1 в функцию, мы получаем неопределенность вида 0/0. Чтобы исследовать данную особую точку, мы можем применить правило Лопиталя (дифференциал счетчика и знаменателя функции). Производная от x^2 равна 2x, а производная от (x-1) равна 1. Поэтому применив правило Лопиталя получим предел x->1 (2x)/(1) = 2. То есть особая точка x = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

2. Асимптоты:
Мы уже определили, что вертикальной асимптотой графика является x = 1. Теперь рассмотрим горизонтальную асимптоту. При рассмотрении поведения функции при стремлении x к бесконечности можно заметить, что x^2 растет быстрее, чем (x-1), поэтому деление x^2 на (x-1) будет стремиться к бесконечности при стремлении x к плюс или минус бесконечности. То есть график функции имеет горизонтальную асимптоту в y = 0.

3. Интервалы убывания и возрастания:
Для определения интервалов убывания и возрастания функции, мы должны найти производную функции и найти ее нули. Производная функции f(x) = x^2/(x-1) можно найти с помощью правила дифференцирования частного. Производная равна ((x-1)(2x) - (x^2)(1))/((x-1)^2) = (x^2 - 2x + 1 - x^2)/(x^2 - 2x + 1) = -1/(x-1)^2.

Производная равна 0, когда знаменатель равен нулю, то есть (x-1)^2 = 0. Решение этого уравнения дают x = 1. В данном случае, решение совпадает с особой точкой, поэтому x = 1 является точкой разрыва, а не экстремумом функции.

Используя интервальный анализ производной, мы можем сделать вывод, что функция возрастает на интервале (-infty, 1) и убывает на интервале (1, +infty).

4. Поведение функции при стремлении x к бесконечности:
Мы уже установили, что горизонтальной асимптотой является y = 0. При стремлении x к бесконечности, функция будет стремиться к бесконечности.

Таким образом, график функции f(x) = x^2/(x-1) имеет вертикальную асимптоту в x = 1, горизонтальную асимптоту в y = 0, функция возрастает на интервале (-infty, 1) и убывает на интервале (1, +infty). Также функция стремится к бесконечности при стремлении x к бесконечности.