Question

Знайдіть первісну для функції f(x)= 6x^2+8x+3 , графік якої проходить через точку М(-2, 10)

Answer 1

$f(x)=6x^2+8x+3 \\ \\F(x)=2x^3+4x^2+3x+C \\ \\M(-2;10)=>F \\ \\10=2*(-2)^3+4*(-2)^2+3*(-2)+C \\ \\10=-6+C \\ \\C=16 \\ \\\boxed{F=2x^3+4x^2+3x+16}$

Answer 2

Щоб знайти первісну для функції \(f(x) = 6x^2 + 8x + 3\), спершу знайдемо антипохідну цієї функції за допомогою правил інтегрування. Антипохідна - це обернена операція до похідної, яка допомагає знайти первісну функції. Спершу знайдемо похідну від \(f(x)\) за допомогою правил диференціювання: \[f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 + 8x + 3)\] За правилом диференціювання степеневої функції ми отримуємо: \[f'(x) = 12x + 8\] Тепер, коли ми знаємо похідну \(f'(x)\), ми можемо знайти первісну \(F(x)\) функції \(f(x)\), інтегруючи \(f'(x)\) за допомогою простих правил інтегрування: \[F(x) = \int (12x + 8)dx\] Інтегруємо кожен член окремо: \[F(x) = \int 12x dx + \int 8 dx\] Тепер знайдемо інтеграли: \[F(x) = 12\int x dx + 8\int dx\] Інтегруючи кожен член, ми отримаємо: \[F(x) = 12 \cdot \frac{1}{2}x^2 + 8x + C\] Де \(C\) - це константа інтегрування. Тепер ми знаходимо, що первісна для \(f(x)\) дорівнює: \[F(x) = 6x^2 + 8x + C\] Тепер, щоб знайти значення константи \(C\), ми використаємо умову, що графік функції проходить через точку \(M(-2, 10)\). Підставимо ці значення в рівняння: \[10 = 6(-2)^2 + 8(-2) + C\] \[10 = 24 - 16 + C\] \[10 = 8 + C\] Віднімаючи 8 з обох сторін, отримуємо: \[C = 10 - 8\] \[C = 2\] Таким чином, значення константи \(C\) дорівнює 2. Остаточно, первісна для функції \(f(x)\) виглядає так: \[F(x) = 6x^2 + 8x + 2\]