Question

Периметр прямоугольника равен 70 см . Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см в квадрате. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.

Answer 1

Обозначим длину за x, а ширину за y, тогда:

Периметр: 2x+2y = 70

Площадь первоначального прямоугольника: S = xy

Площадь прямоугольника после изменения длин его сторон:

(x-5)(y+5)=S+50, где S = xy

xy-5y+5x-25=xy+50,   xy сокращаются

-5y+5x= 75

5x=75+5y

x=15+y Подставляем в первое уравнение:

2(15+y) + 2y = 70

30+2y+2y=70

4y= 40

y = 10

x= 25

Ответ: длина = 25, ширина=10

 

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть длина и ширина первоначального прямоугольника будут обозначены как L и W соответственно. Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. Периметр прямоугольника равен 70 см: 2L + 2W = 70

2. Если длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 квадратных сантиметров: (L - 5)(W + 5) = LW + 50

Давайте решим первое уравнение относительно одной из переменных. Например, выразим L через W:

2L + 2W = 70 2L = 70 - 2W L = (70 - 2W) / 2 L = 35 - W

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

((35 - W) - 5)(W + 5) = (35 - W)W + 50 (30 - W)(W + 5) = 35W + 50

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

30W + 150 - W^2 - 5W = 35W + 50

Соберем все слагаемые в одну сторону уравнения:

W^2 + 40W - 100 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным корнем или формулой дискриминанта. Поскольку мы ищем длину и ширину, то дискриминант должен быть положительным, чтобы иметь два различных решения.

Дискриминант D = b^2 - 4ac где a = 1, b = 40, c = -100

D = 40^2 - 4 * 1 * (-100) D = 1600 + 400 D = 2000

Так как D положительное, у нас есть два различных решения для W.

Решим квадратное уравнение:

W = (-b ± √D) / (2a)

W = (-40 ± √2000) / (2 * 1) W = (-40 ± 44.72) / 2

Теперь найдем два значения для W:

W1 = (-40 + 44.72) / 2 W1 = 4.72 / 2 W1 = 2.36

W2 = (-40 - 44.72) / 2 W2 = -84.72 / 2 W2 = -42.36

Так как ширина не может быть отрицательной, отбросим второе решение W2.

Теперь найдем длину L, используя первое уравнение:

L = 35 - W1 L = 35 - 2.36 L ≈ 32.64

Таким образом, первоначальный прямоугольник имеет длину около 32.64 см и ширину 2.36 см.