Question

7.6.4. В прямоугольнике 6×7 закрашены какие-то 25 клеток. Докажите, что можно найти квадрат 2×2, в котором закрашено не менее трех клеток.

Answer 1

квадрат 6*7  разбиваем на 6 одинаковых фигур которые  состоят из 7 клеток

по условию всего закрашено 25 клеток

используя принцип Дирихле  в каждой полученной фигуре закрашено

25: 6 =4 (+1 ост) клетки , но так как у нас есть остаток равный 1 , это значит , что в какой то фигуре будет закрашено 5 клеток из 7

следовательно если эту часть разбить на два квадрата 2 х 2 , то в одном будет закрашено 2 клетки , а во втором 3 клетки , это и будет искомый квадрат

Answer 2

Вот просто числа поменять а так нормальнр

Answer 3

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного (рассмотрим ситуацию, когда не существует квадрата 2×2 с менее чем тремя закрашенными клетками).

Допустим, что в прямоугольнике 6×7, в котором закрашены 25 клеток, невозможно найти квадрат 2×2 с менее чем тремя закрашенными клетками.

Рассмотрим первый столбец (самый левый). В этом столбце может быть либо 0, либо 1, либо 2, либо 3 закрашенных клетки (в зависимости от того, сколько закрашенных клеток в первой строке столбца).

Если в первом столбце есть 3 закрашенные клетки, то мы уже нашли квадрат 2×2 с не менее чем тремя закрашенными клетками, и задача решена.

Если в первом столбце есть 2 закрашенные клетки, то вторая строка этого столбца не может иметь закрашенных клеток (иначе это создаст квадрат 2×2 с 3 закрашенными клетками в этом столбце).

Теперь рассмотрим второй столбец. Если в нем есть 3 закрашенные клетки, то снова задача решена.

Если во втором столбце есть 2 закрашенные клетки, то это означает, что в первом столбце все клетки во второй строке не закрашены. Таким образом, в первом столбце должны быть закрашены все клетки в первой строке (иначе создастся квадрат 2×2 с 3 закрашенными клетками во втором столбце).

Теперь рассмотрим третий столбец и так далее. Если в каждом столбце, начиная со второго, есть 2 закрашенные клетки, то в каждом столбце, начиная с первого, должны быть закрашены все клетки в первой строке. Это означает, что вся верхняя строка прямоугольника будет полностью закрашена, и в этом случае весь прямоугольник будет закрашен полностью, что противоречит условию задачи (в прямоугольнике 6×7 всего 42 клетки, а не 49).

Таким образом, предположение о том, что в прямоугольнике 6×7 нельзя найти квадрат 2×2 с менее чем тремя закрашенными клетками, оказывается неверным. И мы доказали, что в прямоугольнике 6×7 всегда можно найти квадрат 2×2, в котором закрашено не менее трех клеток.